Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 36

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 63 >> Следующая

добавить с помощью кривой до абелевой поверхности 4, двойственной к
Ртут(С\Е).
Замечание. Можно представлять себе продолжение А -> Ргут(С\Е) отображения
собственных векторов как отображение из А в сопряженное пространство,
полученное при помощи поляризации. Оба абелева многообразия имеют
поляризацию типа (1,2), и поэтому ядро совпадает с группой Z/2 х Z/2.
Хайне также показал, что А само является многообразием Прима
Pic6 (С)
(
(
?Х± Г)Х 2 ?Г]Х з
?У1
m2
J где е2 = 7]2 = 1.
120
Глава IV
)я( ^ Ж
-------------- к -----
Рис. 18.
накрытия над кривой рода 1 (а именно, кривой Е\) при помощи следующей
кривой рода 3:
(в обозначениях 3.2). Эта двойственность объясняется в Приложении 5.
Вся необходимая топологическая информация может быть получена из этого
результата. В самом деле, вещественные структуры кривых D и Е достаточно
просты, как показывают их уравнения.
На рис. 18 в зависимости от значений h и к показаны взаимные расположения
параболы aw + fi2 - hfi + к = 0 и кривой Ец. Дискриминант (рис. 16)
соответствует тем значениям h и fc, для которых эти кривые касаются между
собой (еще одно упражнение для читателя). Оба значения (/г, гг), которые
дают две точки кривой Л, принадлежат Ец и лежат внутри параболы. Таким
образом, Бц имеет одну компоненту (над частью одной из компонент кривой
?r) в области, обозначенной через а, две компоненты (над одной и той же
компонентой ?r) в области b и две компоненты над одной компонентой кривой
Ец в области с. Теперь структуру многообразия Ргут(Т?|^)а можно получить
так же, как и в случае волчка Ковалевской (Глава III и работа Оден и
Силола [15]), а также описать торы Лиувилля и их бифуркации. Мы не
сомневаемся, что получаются результаты, анонсированные Ошемковым [68].
v2 = -aw - ji2 + hfi - к
Глава V
Некомпактные уровни: цепочка Тода
В этой главе мы уделим внимание периодической цепочке Тода, главным
образом потому что эта задача характеризуется несобственным
гамильтонианом, неполными потоками и некомпактными поверхностями уровня.
Наша цель состоит в том, чтобы показать, как свойства собственных
векторов матриц Лакса для этой системы (классические результаты ван
Мербеке и Мамфорда [62]) могут быть использованы для изучения топологии
поверхностей уровня, даже если они не компактны.
1. Дифференциальная система и спектральная кривая
1.1. Периодическая цепочка Тода
Периодическая цепочка Тода представляет собой дифференциальную систему,
которая описывается уравнением Лакса
А\ = [А\, В\],
(1)
где
/ Ь\ 04 О
Oi 62 02
а>п+iA 1 \
О 02
Ал
О
\ ^n+iA
а,п
О ап ^n+i /
122
Глава V
Вх =
/ о
-01
О
\ (r)n+lA
а 1 О
-а- 2
Оп+1^ ^
О -ап
О /
dk - dkipk ^/г + l) ipn-\-2 - ^l)?
bk = 2(a|_! - a\) (a0 = an+1).
(2)
Заметим, что X) aVa& = 0 и ^ 6^ = 0, так что П и очевидно,
являются первыми интегралами.
Замечание. Эти уравнения описывают систему га 4- 1 частиц, связанных
между собой так называемыми "экспоненциальными пружинами", с
периодическим предположением: частицы движутся по окружности (см. детали
и знаменитую замену координат Флашка в [28]).
Хорошо известно1, что уравнение Лакса (1) описывает вполне интегрируемую
систему. Здесь мы приводим краткий набросок доказательства (отсылая
читателя за деталями к работе Адлера и ван Мербеке [2]). Заметим, что в
дифференциальной системе (2) все га + 1 частицы равноправны, однако в
матрице Лакса (га 4- 1)-я частица играет особую роль. Умножение на Л
очень похоже на сдвиг по индексам, так что можно рассматривать А\ и В\
как бесконечные периодические трех-
1 Имеется большое количество работ по цепочке Тода, среди которых есть
несколько интересных с точки зрения нашей тематики.
Некомпактные уровни: цепочка Тода
123
диагональные матрицы Якоби
/ •. •.
(r)п+1
А =
bi
а\
О
а\ О Ъ2 02 02
О а"
^п+1 Оп_|_1
^п+1
О oi О
-Oi 0 02
О - о2 '**
V
О 71
О
^71+1
/
Во-первых, соответствующий бесконечномерный аналог алгебры s/n+i, с
которой мы имеем дело, - это алгебра Ли, изоморфная s/n+i[A,Л-1], так что
наша дифференциальная система имеет вид
А= [А, В].
Заметим теперь, что А является симметричной матрицей, в то время как
матрица В кососимметрична: ситуация в точности совпадает с описанной в
Приложении 2 (П.2.3), за исключением того, что размерность бесконечна.
Во-вторых, АКС-теорему можно было бы использовать для доказательства того
факта, что система является интегрируемой, но мы не будем на этом
останавливаться. Все что нам нужно
124
Глава V
сделать - это проверить справедливость всех утверждений для бесконечной
размерности. Если согласиться с этим, то мы получим гамильтонову систему
с функцией
nT 1 п+1
Я = itrА\ = i Y^bl + Y^al
к=1 к=1
на множестве всех трехдиагональных симметричных (бесконечномерных
периодических с нулевым следом) матриц. Это множество представляет собой
объединение коприсоединенных орбит и, таким образом, является пуассоновым
многообразием. Все коэффициенты полиномов tr Лд суть коммутирующие первые
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама