Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 37

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 63 >> Следующая

интегралы.
Симплектические орбиты. С точки зрения теории групп очевидно, что след
является орбитальным инвариантом. То же самое верно для произведения Па*-
Если мы знаем, что все утверждения справедливы в бесконечномерном случае,
то доказательство предыдущего утверждения не составляет труда. В
обозначениях из Приложения 2, для инвариантной симметричной билинейной
формы
(^XiX^yjX3) = ^2 Xi-yj
i+j=О
(используя форму Киллинга), при х = Yxi^ имеем
(V*/)+ = X)(V*1/)A-i
(напомним, что + обозначает проекцию на алгебру Ли а нижнетреугольных
матриц), поэтому скобка Пуассона в Ь1 = а* имеет вид
{f,g}(x) = (x, [(Vx/)+,(Vxg)+]> =
= 53 Xj f ^ Xkg\) •
i-(j+k)=0 j,k^ 0
Множество Г трехдиагональных матриц состоит из элементов вида txiX~1 + xq
+ х±\,
Некомпактные уровни: цепочка Тода 125
на которых скобка выражается достаточно простой формулой:
{/,<§} (х) = (х0,[Va.0/,Va.0g]) + (xi,[VXlf,'VXog} + [V*0/, V*^]).
Более точно, для матрицы Ад, указанной выше, хо представляет собой
"постоянный член", а х± является матрицей, у которой только один элемент
ап+1 в нижнем левом углу может быть отличен от нуля. Таким образом,
окончательно получаем
ъ- 1 *=1
где введены периодические обозначения для индексов. Гамильтоново
векторное поле, ассоциированное с функцией g, может быть представлено в
виде
X='sr(n^-n dg \ 9 I У (п 9g \ д
' * Is \а'дщ dbi 4- { ^dbi t+1dbi+1 дщ-
г х ' г 4
Из этой формулы мы немедленно получаем, что для / = П сц имеет место
равенство X/ = О, следовательно, / является орбитальным инвариантом.
Используя эту формулу, можно также найти ранг пуас-соновой структуры и
проверить, что
F = {(а,Ъ) ? R"+1 х Rn+1 | Y,bi = 0 и Да,; = l}
является симплектическим листом. Ограничим нашу систему на это
многообразие.
1.2. Спектральная кривая и регулярные уровни
На симплектическом листе V уравнение спектральной кривой имеет вид
А + А 1 + Р(рь) = О, где Р - полином степени п + 1 вида
Р{ц) = (-1)"+V"+1 + #1 (ь, а)м"-1 + • • • + Нп{Ъ, а).
126
Глава V
Спектральную кривую можно пополнить (и нормализовать), добавив две точки
А и ??, такие что пополненная кривая оказывается гладкой в окрестности А
и ??, а также выполнено:
(Л) = (п Н-1) {А - В), (//) Н- А Н- В 0.
Грубо говоря, в координатах (Л, /х) имеем: Л = (0, оо) и И = (оо,оо).
В результате пополненная кривая X представляет собой гиперэл-липтическую
кривую рода п. Гиперэллиптическая инволюция т имеет вид (A,//) i-> (А-
1,//), а // является отображением степени 2, разветвленным в 2п + 2
корнях полинома Р(//)2 - 4.
Замечание. Для данной ситуации характерно, что на кривой X задан дивизор
А-В - А-т(А), представляющий собой элемент порядка п + 1 в группе
Pic°(X). В частности, этот элемент определяет действие группы Z/(n + 1)
на каждом Picd(X).
Предложение 1.2.1. Отображение собственных векторов
Picd(X)
эквивариантно относительно действия группы Z/(n + 1), т. е.
ipa(b,x) = р(Ъ,х) + А - В.
Доказательство.
Очевидно, что
( "1 \
ип
\ ^п+1 /
= //
\ ^га+1 /
\
/ A 1u"+i \
=//
/
Ml
V
/
Поэтому (р (А\) является дивизором нулей и полюсов сечения и =
*('"<!,...,иn+i) расслоения собственных векторов тогда и только тогда,
когда р(а(А\)) есть дивизор нулей и полюсов сечения f (A-1un+!, ... ,
un). Теперь легко проверить, что последнее получается из первого
добавлением А - В. ¦
Заметим, что, как обычно, отображение (р корректно определено, если
кривая X гладкая. Кроме того, имеем
Некомпактные уровни: цепочка Тода 127
Предложение 1.2.2. Предположим, что значение h таково, что
соответствующая спектральная кривая X гладкая. Тогда Ту - регулярный
уровень.
Доказательство.
Чтобы доказать, что значение h регулярно, достаточно предъявить п
векторных полей Xi,... ,Хп, касательных к Ту и независимых во всех точках
Ту. Другими словами, нужно предъявить п кососимметричных матриц ,
В^\ таких что образы скобок при
касательном отображении к (р являются линейно независимыми. Проще всего
взять в качестве кососимметричные части матриц (А\)к (так что матрица
совпадает с нашей матрицей В\). Предположим теперь, что v - собственный
вектор матрицы А\ с собственным значением р. Тогда
fikv = (-А\)А v = B^v + члены, содержащие только А
-1
Из теории, изложенной в Приложении 3, следует, что образ векторного
поля А\,В^ есть fik, который можно рассматривать как элемент
группы Н1 (Х;Ох)- Осталось проверить, что /i,... ,/in образуют базис
этого n-мерного векторного пространства; это легко сделать с помощью
вычетов.
Лемма 1.2.3. Пусть у - 2А + Р(р), так что уравнение для X принимает вид
у2 = Р{р)2 - 4. Тогда цп,... ,/i образуют базис в Н1 (X; Ох)?
двойственный базису dp,/у,... ,pn~1dp/y в Н° (Х;Г^).
1.3. Бельгийская замена координат
Напомним, что нас интересует пример с несобственным гамильтонианом. Самый
простой способ построения такого примера - это попробовать заменить
гамильтониан функцией типа
71+1 71+1
H = \Y,b\ + Ysx^
k=1 k=1
128
Глава V
другими словами, выполнить "замену переменных" хк = а\ и получить
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама