Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 38

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 63 >> Следующая

симплектическое многообразие
W = {((r),Ь) G R"+1 х Rn+1|^fei = 0 и Дж, = l}.
Тогда гамильтонова система примет вид
(хи = 2Xk(bk ~ bk+1),
Ьк = 2(хк-1 - хк).
(3)
Это построение может привести к успеху, поскольку первые интегралы
системы (2) зависят только от а\ = хк. Действительно, если D -
диагональная матрица:
D - (Qj\ . . . &п-\-1 ? * • * &П-\-1 ? * • * ? (r)П&П-\-1 ? ft'71+l ) ч
то матрица D~xA\D зависит только от квадратов хк, следовательно, то же
самое верно для коэффициентов характеристического полинома. Таким
образом, система (3) вполне интегрируема. Более точно, коммутирующие
интегралы задаются 1;г(Лд)А, где
A'X=D~XAXD =
/
Эти интегралы в точности совпадают с первыми интегралами, которые мы уже
имеем и в которых а\ заменено на хк. Таким образом, заменим Н{(Ъ,а) на
Hi{b,x). В процессе этой операции спектральная кривая X не меняется.
Замечание. Система (3) также эквивалентна уравнению Лакса для А'х.
Запишем:
( h 1 0 ^п+1^
Ж1 ь2 1
0 Х2 1 , # ,
•. •. ¦. 0
•• 1
1 А 0 Хп ^га+1
Некомпактные уровни: цепочка Тода
129
так что
где
|Л = [^,гА],
Cx = D-1BxD + D-1j-D.
at
На к-м месте диагональной матрицы D 1dD/dt стоит элемент (ai... ak~i)d(ak
• • • an+i)/dt. Поскольку a* = 1, имеем:
d log(afc...a"+i) = (g +
dt
следовательно,
/ bi
-xi
CA =
0
A
1
b2
-Ж2
0
1
^n+1
- Id
/ о
-2#i
C7a+61 Id -Afx =
0 -2x2
-2x
n+IV
=B'X.
\ 0 0 -2xn 0
Окончательно наша система эквивалентна уравнению
зИ = ^,щ.
Существуют, конечно, теоретико-групповые причины того, что система (3)
имеет именно такую форму Лакса (см., например, расширенную статью
Костанта [54]).
130
Глава V
Обозначим через Т/г уровень h в W, а через р! - новое отображение
собственных векторов. Заметим, что по крайней мере с комплексной точки
зрения Тн является (2/2)п-листным накрытием над Имеем коммутативную
диаграмму
Pic2"
(X).
Циклическая перестановка а также действует на Д', причем следующие
диаграммы коммутативны:
%
Т'
>h
%
Ч
Т'
1h
Т'
lh
Pic2n
№ A-В
Pic (X).
Явные вычисления, проделанные ван Мербеке и Мамфордом [62], позволяют
предъявить эффективный дивизор D степени п, такой что D + пА является
представителем (p(Afx). Дивизор D является общим и удовлетворяет
уравнению
h° (D + (п - к + 1) А - (п - к + 1 )В) = 1 V& Е {1,... , п} ,
которое позволяет точно определить образ отображения (р.
Все эти результаты являются классическими (см. работы ван Мербеке и
Мамфорда [62], Адлера и ван Мербеке [2, 6], а также автора [12]). Здесь
мы ограничимся лишь случаем п = 2 не вследствие простоты (фактически все
случаи одинаковы), а поскольку именно для этого случая мы хотим получить
топологическое описание поверхностей уровня Tfc.
2. Отображение собственных векторов: случай п = 2
Рассмотрим теперь матрицы размера 3x3 (что соответствует случаю трех
частиц).
Некомпактные уровни: цепочка Тода
131
2.1. Кривая и интегралы
Рассмотрим гиперэллиптическую кривую рода 2, которая является пополнением
кривой
Хо = {(А,/х) G С* х С | А + А-1 - /х3 + Hi(b,x)fi. + H2(b,x) = 0},
J Hi (Ь, х) = Х\ + Х2 + Х3 - Ь\Ь2 - Ь2Ь3 - b3bi I H2(b,x) = hb2b3 - bix2
- b2x3 - b3x3.
Зафиксируем значения hi и h2 функций Hi и Н2. Соответствующая кривая X
является гладкой, когда корни полинома
различны, т. е. когда оба полинома -цг + hiji + I12 ± 2 имеют простые
корни.
2.2. Свойства отображения собственных векторов
Собственные векторы легко вычисляются в терминах миноров матрицы A'x - (i
Id (заметим, что вычисления являются достаточно общими и взяты из работы
ван Мербеке и Мамфорда [62]). Находим, что
- собственный вектор матрицы Ах с собственным значением ц.
Заметим, что третья координата и% является функцией от /х, так что она
обращается в нуль в двух парах точек (Qi,tQi), (фгэ'тфг)-Пусть Qi и Q2 -
общие нули функций и± и щ. Заметим, что ^1=^3=0 => щ = 0, так что эти
точки также являются общими нулями функций щ и "3.
Положим Pi = rQi и рассмотрим сечение *(/ь/2,1) = расслоения собственных
векторов.
где
А(/т) - (-jj? + hifi + /^2) - 4
132
Глава V
Заметим, что порядок полюса в точке А равен
• 2 по д2 и г^з,
• 3 по Л и г/,2,
• 4 по Ад и и\,
а точка В не является полюсом функций Ji и /2. Тогда
{fl)oo = Pl+P2 + 2A,
(/2)00 = Pi + Р2 + A,
и дивизор полюсов этого сечения равен Pi + Р2 + 2А. Заметим также, что В
является простым нулем функции /2 и двойным нулем Д.
Таким образом, мы нашли представителя образа точки (&, х) в Pic4(X) при
отображении собственных векторов. Упомянутый выше дивизор D есть не что
иное как Pi + Р2. Следующей нашей целью будет изучение его свойств.
Предложение 2.2.1. Существует эффективный дивизор D степени 2 на X,
который является общим, удовлетворяет равенству
h°(D + kA - (k + 1)Р) = 0 при к - 0,1,2
и такой, что D + 2А является представителем класса дивизора собственных
векторов.
Доказательство.
Прежде всего для т ^ 1 имеем deg(P-hm^) = m + 2 > 2. Поэтому, согласно
теореме Римана-Роха, получаем
h°(D + тА) = m + 2 - 2 + 1 = m + 1.
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама