|
Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.ISBN 5-7029-0312-9 Скачать (прямая ссылка):  Например, h°(D + Л) = 2. Из этого следует, что h°(D) = 1, так как было замечено, что f2 е C(D + А) - C{D), причем это включение строгое. Иными словами, D является общим. Как следствие, C(D) = С (постоянные функции), таким образом, Некомпактные уровни: цепочка Тода 133 C(D - В) - 0 (константа равна нулю) и, поскольку /2 G C(D + А - В), то h°(D А - В) = 1 (напомним, что добавление полюса может, самое большее, увеличить размерность на 1!). Нуль функции /2 в точке А является простым, так что /2 G C{D + Л - В) - C{D + А - 2В) и /г°(Л + А - 2В) = 0. Аналогично, /i G ?(Л + 2А - 2В), поэтому h°(D + 2 А- 2 В) = h°(D А - 2В) + 1 = 1 и h°{D + 2 А- ЗВ) = 0. ¦ Предположим теперь, что мы имеем дивизор D на кривой X, который удовлетворяет указанным выше свойствам. Можно построить матрицу Ад, такую что дивизор D + 2А является ее образом. Следовательно, мы получаем наш основной результат. Рассмотрим отображение Абеля-Якоби X -> Pic4(X) Р I-> Р + ЗА. Пусть V1 - его образ (это копия кривой X, вложенная в Pic4(X), сдвиг 0- дивизора). Аналогично, пусть Т>2 и 2>3 - образы дивизора X>i, полученные сдвигами порядка 3 на А - В и 2А - 2В, соответственно. Теорема 2.2.2. Предположим, что кривая X гладкая. Тогда уровень 7^ регулярен, отображение собственных векторов Pic4(X) является изоморфизмом на свой образ, а образ (pf есть дополнение до объединения Т)\ U Х>2 U Х>з. Доказательство. Первое утверждение немедленно следует из предложения 1.2.2. Докажем теперь второе утверждение, т. е. попытаемся построить матрицу Ад, исходя из дивизора D. Прежде всего, C(D + 2В) = V является трехмерным векторным пространством: это есть пространство С3, на котором будет действовать матрица Ад. Более того, можно выбрать базис (gi,g2?l) в пространстве V, такой что gi G C(D + 2А - 2Л), g2 G C(D + А - В). 134 Глава V Поскольку оба эти подпространства пространства C(D + 2А) одномерны, то gi и g2 корректно определены с точностью до умножения на ненулевое комплексное число. Нам необходимо понять, как действует операция умножения на g на этих функциях. Сначала рассмотрим gg2* Имеем: (мЫ = (/Д + (#2) ^ -В - А - D - А + В = -D - 2А, откуда fig2 Е C(D + 2А) и gg2 = Vigi + b2g2 + с. Поскольку мы знаем, что C(D + А - 2В) = 0, то нуль функции g2 в точке В является простым, поэтому gg2 не может обращаться в нуль в точке В и с ф 0. Положим Д = ^2/с, тогда /^Д = yigi + &2 Д + 1* Рассмотрим теперь ggi. Имеем: (ggi) = (/Д + (gi) ^ ~В - А + (gi) ^ -В - А - D - 2А + 2В. Таким образом, (ggi) ^ -D + В - ЗА. Действительно, мероморфная функция ggi имеет полюсы на D и тройной полюс в точке А, никаких других полюсов у этой функции нет. Кроме того, она обращается в нуль в точке В. Вспомним, что Л также имеет тройной полюс в точке А, поэтому существует ненулевое комплексное число у3, такое что fjLgi - 2/3А-1 имеет, самое худшее, полюс второго порядка в точке Д. Следовательно, ggi - у3А-1 Е C(D + 2А - В). Тогда (gi, Д) является базисом пространства C(D + 2А - В)у и мы можем записать: № - 2/зА-1 = bgi + с/2. Наконец, рассмотрим /л • 1. Напомним, что в точке В функция g имеет простой полюс, Л имеет тройной полюс, a gi имеет двойной нуль, поэтому Agi имеет простой полюс в точке В. Заменяя gi на подходящий множитель Д, мы можем заключить, что g - АД не имеет полюсов в точке В. В точке А функция АД имеет простой нуль, так что g - АД имеет простой полюс. Все полюсы функции АД являются простыми и Некомпактные уровни: цепочка Тода 135 принадлежат Л, поэтому fi - Xfi ? C(D-\-A). Таким образом получаем, что /i - АД равно #2/2 + Ь3 для некоторых корректно определенных констант Х2 и 63. Заметим, что теперь /1 и /2 полностью определены и удовлетворяют равенству Поскольку (A,/i) ? X, то с' = 1 и мы построили матрицу Ад, исходя из дивизора D. Таким образом, мы показали, что любой общий дивизор D, удовлетворяющий дополнительным свойствам, указанным в предложении 2.2.1, является образом ровно одной матрицы Ад, поэтому отображение собственных векторов инъективно и указанные свойства описывают его образ. Нам осталось проверить, что свойства, перечисленные в предложении 2.2.1, в точности означают, что D + 2А ^ Vi. ¦ 2.3. Топология поверхностей уровня Здесь мы опишем топологию поверхностей уровня 7^, используя теорему 2.2.2: эти поверхности возникают на вещественной части дополнения2 к дивизорам Vi на якобиане. Мы должны сначала изучить относительное расположение дивизоров D*, а затем понять, как они вложены в якобиан. Относительное расположение дивизоров V^V2^V3. Каждый дивизор Vi касается двух соседних. Обычно это описывают с помощью комбинаторной схемы, как показано на рис. 19; на рис. 21 приведено более детальное описание. Дадим точную формулировку этого свойства. 2 Заметим, что это единственный пример в книге, где нам необходимо знать образ отображения собственных векторов: в случае, когда рассматриваемый уровень компактен, если удастся получить инъективное отображение
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
