Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 40

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 63 >> Следующая

собственных векторов, то уровень отождествляется с вещественной частью
абелева многообразия.
136
Глава V
Рис. 19.
Предложение 2.3.1. Пересечение дивизоров Vi и Х^+i (г mod 3) состоит из
одной точки, которая является вещественной и в которой две кривые
касаются. Касательный вектор в точке пересечения принадлежит прямой,
порожденной коциклом р ? if1 (X; 0^) •
Доказательство.
Гомологическое пересечение, вообще говоря, описывается формулой Пуанкаре
(см., например, книгу Ланге и Биркенеке [57] по поводу этого результата).
В данном случае это пересечение найти достаточно просто, поскольку мы
имеем дело с кривой рода 2, вложенной в четырехмерный тор: индекс
самопересечения равен числу Эйлера нормального расслоения; поскольку
объемлющее пространство является тором, то это число совпадает с
точностью до знака с эйлеровой характеристикой и, следовательно, равно 2.
Теоретико-множественное пересечение V\ ПХ>2 содержит класс дивизора 4А,
который появляется в V\ как образ А 4- ЗА точки А и в Х>2 как образ В-\-
ЗА-\-(А-В) точки В. Заметим, что точка 4А вещественна.
Для доказательства предложения достаточно показать, что прямая с
направляющим коциклом р касается в этой точке как T>i, так и V2: это
гарантирует, что V1 и V2 касаются в этой точке. Поскольку индекс
самопересечения равен 2, то точка 4А будет единственной точкой в T>i П
V2.
С помощью сдвигов мы хотим показать, что (в образе кривой X в ее якобиане
при отображении Абеля-Якоби) касательная прямая в обеих точках А и В
является прямой с направляющим коциклом р.
Некомпактные уровни: цепочка Тода 137
Действительно, запишем отображение Абеля-Якоби в виде
X -> Н° (П^)*/Л
Р
UJ I-У
J*}
Тогда его касательное отображение имеет вид
ТрХ -> н° (п^)
Г) I-> (ш и- шР(г})),
и прямая, касательная к образу кривой в точке образа Р, есть прямая,
порожденная линейной формой to и-" top.
Мы хотим показать, что обе прямые в Н° (П^) , порожденные формами uj и-"
uja и^и сор, совпадают с прямыми, порожденными коциклом /i. В точках А и
В функция и - l//i является голоморфной локальной координатой. Поэтому,
если и; = a(u)du в точке А и из = j3(u)du в точке Р, то Res^(^) = а(0),
Resв(р^) = /?(0) и
{со а = 0 <?> Res^(/^) = О, lob = О О ResB(/-/^) = О,
что и требовалось доказать. ¦
Замечание. В общем случае мы получаем п + 1 сдвиг дивизора Pi, каждый из
которых касается предыдущего и следующего дивизоров. Комбинаторная схема
совпадает с расширенной диаграммой Дынкина полупростой алгебры Ли s/n+i.
Этот результат взят из работы Адлера и ван Мербеке [6] (аналогичные
результаты относительно цепочек Тода, связанные с другими полупростыми
алгебрами Ли, можно найти в той же работе. Приведенное здесь утверждение
и его доказательство носят общий характер (включая утверждение о касании,
см. [12]).
Регулярные значения. Построим вещественную кривую Хц (в координатах
(//,у), см. лемму 1.2.3) в зависимости от расположения точки (hi. h'2)
(рис. 20).
138
Глава V
е-0
Рис. 20.
Дискриминантная кривая состоит из двух экземпляров дискриминантов
полиномов степени 3 (см. 2.1). Вне этих кривых мы имеем регулярные
уровни, и можно проверить, что точки дискриминанта фактически являются
критическими значениями. Дополнение до дискриминанта состоит из четырех
областей, обозначенных соответственно (1), (2), (3) и (4). Они
соответствуют вещественной части Xr, имеющей соответственно три, две, две
или одну связную компоненту.
Вещественная кривая на якобине. Заметим, что Pic4(X)R можно отождествить
с вещественной частью якобиана, поскольку XR всегда непусто.
Единственное, что нам осталось сделать, - это изучить вещественные
аспекты отображения Абеля-Якоби.
Лемма 2.3.2. Любая связная компонента кривой Xr представляет собой
примитивный ненулевой элемент группы i?i(Jac(X)R; Z).
Доказательство.
Пусть Хо - связная компонента кривой Xr, и пусть То - двумерный тор, в
который эта компонента переходит под действием отображения Абеля-Якоби и.
Напомним, что u* : iii(X;Z) -У i?i(Jac(X); Z) является изоморфизмом (см.
Приложение 4).
Если рассматривать X как двулистное накрытие над Р1(С), разветвленное в
корнях полинома Р{р)2 - 4, то более или менее очевидно, что каждая
компонента вещественной части дает примитивный ненулевой элемент в
E/i(X;Z) и, следовательно, в iZi(Jac(X); Z).
Некомпактные уровни: цепочка Тода
139
Ш GD
Рис. 21.
Связная компонента То многообразия Jac(X)R задается включением Р ^ С2
некоторого сдвига вещественной плоскости R2 и соответствующей решеткой Ло
^ А, так что мы получаем коммутативную диаграмму
Ло = Я1(Т0)
Я1(Х0)
Hi(Jac(X)) = Л
Hi(X).
Генератор Hi(X0) отображается на примитивный ненулевой элемент Hi(T0).
ш
Таким образом, дополнение любой компоненты кривой Xr в своем торе
является цилиндром. Используя относительное расположение дивизоров T>i
(см. предложение 2.3.1), можно легко получить полное описание топологии
вещественных поверхностей уровня Т^, как показано на рис. 21.
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама