|
Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.ISBN 5-7029-0312-9 Скачать (прямая ссылка):  Предложение 2.3.3. Вещественная поверхность уровня 7^ состоит из трех открытых дисков, если Xr связно, трех открытых дисков и трех цилиндров, если Xr состоит из двух компонент, и трех открытых дисков, шести цилиндров и тора, если X^r имеет три компоненты связности. Собственная цепочка Тода. Используя это предложение, можно описать топологию исходной поверхности уровня 7д (которая компактна): отображение собственных векторов (р : Тн -^ Pic4(X) является 140 Глава V четырехлистным накрытием над своим образом, который содержится в вещественной части якобиана без дивизоров V{ (поскольку р не инъ-ективно, то могут найтись, и они действительно есть, вещественные точки на якобиане, которые являются образами невещественных точек поверхности Тн)- Поскольку гамильтониан является собственной функцией, единственные значения Л, которые могут дать непустые уровни 7/i, - это те, для которых Т? имеет компактную компоненту (случай, когда Хц имеет максимально возможное число компонент). Кроме того, знаки ai,tt2 и (гДе "1^203 = 1) позволяют делать различие между четырьмя группами связных компонент в Тн- Окончательно получаем Следствие 2.3.4. Вещественная поверхность уровня Тн состоит из четырех торов9 если h таково, что Хц имеет три компоненты, и пусто в противном случае. Замечание. Как показывает рис. 21 и предложение 2.3.1, существует выделенное направление, касательное к многообразию Jac(X). Исходя из изоспектрального множества Тн матриц Якоби (которое фактически не имеет отношения ни к одной дифференциальной системе), мы находим, используя отображение собственных векторов р, выделенное направление, касательное к Тн* А это уже неожиданный результат. Еще более удивительным является то, что это есть направление потока Тода, потока гамильтониана Н (как видно из доказательства предложения 1.2.2). Более подробную информацию по этому вопросу можно найти в [12]. Бифуркации. Заметим, что торы, равно как и цилиндры, могут исчезать, становясь все тоньше и тоньше. Однако не существует никакой морсовской модели, согласно которой могут исчезать диски ... поэтому они остаются. Приложения I. Пуассонова структура на коалгебре Ли В этом приложении мы вкратце напомним основные определения и конструкции, связанные со структурой Кириллова-Костанта на коалгебре Ли. Более подробное изложение этой теории и дополнительную информацию читатель может найти в классической литературе по группам Ли, в замечательной книге Кириллова [48], а также, например, в книгах по симплектической геометрии, которые мы уже цитировали, а именно, в книгах Либерманна и Марле [59] и Оден [10]. Мы будем использовать понятия (главным образом, определение пуассонова многообразия), описанные во введении. 1.1. Алгебра Ли и ее коалгебра Напомним, что (вещественное или комплексное) конечномерное векторное пространство g называется алгеброй Лщ если оно снабжено билинейной кососимметричной скобкой [, ] : 0 х 0 ->¦ 0, которая удовлетворяет тождеству Якоби: [х, [Y, z]\ + [У, [Z, X]] + [Z, [X, У]] = 0 VX, у, Z е 0. Рассмотрим теперь двойственное векторное пространство д*. Это пространство можно рассматривать как просто векторное пространство (заметим, что скобка Ли на g не задает никакой структуры алгебры Ли на д*). Однако дополнительная структура на g задает пуассонову структуру (обнаруженную и исследованную, главным образом, Кирилловым [48], Костантом [53] и Сурьо [81]). Если / Е С°°(д*) и ? Е д* (мы будем использовать заглавные латинские буквы для элементов алгебры g и греческие буквы для элементов коалгебры д*), то df(?) - 142 Приложение 1 линейная форма на T^g* = д*, и мы можем рассматривать ее как элемент алгебры д, используя бидуальность. Для f,gE C°°(g*) положим {f,g}(0 = ($,W(0,dg{0]), где ( , ) обозначает спаривание. Таким образом, определена скобка Пуассона { , }. Она, очевидно, является кососимметричной, удовлетворяет тождеству Якоби, поскольку это верно для [ , ] (как нетрудно проверить), и является дифференцированием по каждому аргументу (т. е. удовлетворяет правилу Лейбница), так как определена через дифференциалы функций. Пример 1. Рассмотрим векторное произведение в векторном пространстве R3. Оно определяет структуру алгебры Ли (легко установить справедливость тождества Якоби). Теперь отождествим R3 с сопряженным пространством (используя каноническую евклидову структуру), так что это пространство превращается в пуассоново многообразие. Рассмотрим, например, координатные функции x^y^z. Для вектора v =*(а,6, с) имеем: {.X,y}(v) = (^v, Аналогичные тождества дают {ж, у} (v) = {у, z} (и) = {z, ж} (v) = abc. Замечание. Заметим, что если бы нам удалось построить скобку Ли на д*, то тем самым мы бы определили пуассонову структуру на д. Обратно, некоторые пуассоновы структуры на д задают структуры алгебры Ли на д*. Этот факт заимствован из теории пуассоновых групп Ли, которая является важной и полезной для интегрируемых систем, однако здесь мы ею заниматься не будем
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
