Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 41

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 63 >> Следующая

Предложение 2.3.3. Вещественная поверхность уровня 7^ состоит из трех
открытых дисков, если Xr связно, трех открытых дисков и трех цилиндров,
если Xr состоит из двух компонент, и трех открытых дисков, шести
цилиндров и тора, если X^r имеет три компоненты связности.
Собственная цепочка Тода. Используя это предложение, можно описать
топологию исходной поверхности уровня 7д (которая компактна): отображение
собственных векторов (р : Тн -^ Pic4(X) является
140
Глава V
четырехлистным накрытием над своим образом, который содержится в
вещественной части якобиана без дивизоров V{ (поскольку р не инъ-ективно,
то могут найтись, и они действительно есть, вещественные точки на
якобиане, которые являются образами невещественных точек поверхности Тн)-
Поскольку гамильтониан является собственной функцией, единственные
значения Л, которые могут дать непустые уровни 7/i, - это те, для которых
Т? имеет компактную компоненту (случай, когда Хц имеет максимально
возможное число компонент). Кроме того, знаки ai,tt2 и (гДе "1^203 = 1)
позволяют делать различие между четырьмя группами связных компонент в Тн-
Окончательно получаем
Следствие 2.3.4. Вещественная поверхность уровня Тн состоит из четырех
торов9 если h таково, что Хц имеет три компоненты, и пусто в противном
случае.
Замечание. Как показывает рис. 21 и предложение 2.3.1, существует
выделенное направление, касательное к многообразию Jac(X). Исходя из
изоспектрального множества Тн матриц Якоби (которое фактически не имеет
отношения ни к одной дифференциальной системе), мы находим, используя
отображение собственных векторов р, выделенное направление, касательное к
Тн* А это уже неожиданный результат. Еще более удивительным является то,
что это есть направление потока Тода, потока гамильтониана Н (как видно
из доказательства предложения 1.2.2). Более подробную информацию по этому
вопросу можно найти в [12].
Бифуркации. Заметим, что торы, равно как и цилиндры, могут исчезать,
становясь все тоньше и тоньше. Однако не существует никакой морсовской
модели, согласно которой могут исчезать диски ... поэтому они остаются.
Приложения
I. Пуассонова структура на коалгебре Ли
В этом приложении мы вкратце напомним основные определения и конструкции,
связанные со структурой Кириллова-Костанта на коалгебре Ли. Более
подробное изложение этой теории и дополнительную информацию читатель
может найти в классической литературе по группам Ли, в замечательной
книге Кириллова [48], а также, например, в книгах по симплектической
геометрии, которые мы уже цитировали, а именно, в книгах Либерманна и
Марле [59] и Оден [10]. Мы будем использовать понятия (главным образом,
определение пуассонова многообразия), описанные во введении.
1.1. Алгебра Ли и ее коалгебра
Напомним, что (вещественное или комплексное) конечномерное векторное
пространство g называется алгеброй Лщ если оно снабжено билинейной
кососимметричной скобкой
[, ] : 0 х 0 ->¦ 0, которая удовлетворяет тождеству Якоби:
[х, [Y, z]\ + [У, [Z, X]] + [Z, [X, У]] = 0 VX, у, Z е 0.
Рассмотрим теперь двойственное векторное пространство д*. Это
пространство можно рассматривать как просто векторное пространство
(заметим, что скобка Ли на g не задает никакой структуры алгебры Ли на
д*). Однако дополнительная структура на g задает пуассонову структуру
(обнаруженную и исследованную, главным образом, Кирилловым [48],
Костантом [53] и Сурьо [81]). Если / Е С°°(д*) и ? Е д* (мы будем
использовать заглавные латинские буквы для элементов алгебры g и
греческие буквы для элементов коалгебры д*), то df(?) -
142
Приложение 1
линейная форма на T^g* = д*, и мы можем рассматривать ее как элемент
алгебры д, используя бидуальность. Для f,gE C°°(g*) положим
{f,g}(0 = ($,W(0,dg{0]),
где ( , ) обозначает спаривание. Таким образом, определена скобка
Пуассона { , }. Она, очевидно, является кососимметричной, удовлетворяет
тождеству Якоби, поскольку это верно для [ , ] (как нетрудно проверить),
и является дифференцированием по каждому аргументу (т. е. удовлетворяет
правилу Лейбница), так как определена через дифференциалы функций.
Пример 1. Рассмотрим векторное произведение в векторном пространстве R3.
Оно определяет структуру алгебры Ли (легко установить справедливость
тождества Якоби). Теперь отождествим R3 с сопряженным пространством
(используя каноническую евклидову структуру), так что это пространство
превращается в пуассоново многообразие. Рассмотрим, например,
координатные функции x^y^z. Для вектора v =*(а,6, с) имеем:
{.X,y}(v) = (^v,
Аналогичные тождества дают
{ж, у} (v) = {у, z} (и) = {z, ж} (v) = abc.
Замечание. Заметим, что если бы нам удалось построить скобку Ли на д*, то
тем самым мы бы определили пуассонову структуру на д. Обратно, некоторые
пуассоновы структуры на д задают структуры алгебры Ли на д*. Этот факт
заимствован из теории пуассоновых групп Ли, которая является важной и
полезной для интегрируемых систем, однако здесь мы ею заниматься не будем
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама