Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 42

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 63 >> Следующая

(см., например, обзоры Реймана и Семенова-Тян-Шанского [77] и Семенова-
Тян-Шанского [80]).
1.2. Ad, ad, Ad*, ad* и тому подобное
Пространство д* не обязано быть симплектическим многообразием: вспомним о
его (нечетной) размерности в предыдущем примере.
Пуассонова структура на коалгебре Ли
143
Однако, как и любое пуассоново многообразие, оно расслаивается на
симплектические многообразия. Они являются коприсоединенными орбитами,
орбитами "коприсоединенного действия" группы Ли G на $*. Скажем несколько
слов об этом понятии.
Пусть G - группа Ли с единицей 1. Обозначим через g касательное
пространство TiG. Эта группа действует на себе при помощи сопряжения:
Vg е G, G -> G
h I-> ghg-1.
Дифференцирование этого действия в единице 1 задает присоединенное
действие:
Mg G G, Adg : 0 -> 0
X _> Adg(A),
которое можно рассматривать как отображение
G -"• End(0)
g I->• Adg.
Продифференцируем это отображение в единице 1:
0 -> End(0)
X I-у a,dx .
В качестве простого упражнения предлагается проверить, что
0X0 -> 0 {X^Y) I-> adX(Y)
является скобкой Ли, так что д оказывается алгеброй Ли1 группы G. Мы
всегда будем использовать обозначение [Х,У] = adx(^)-
1 Каждая алгебра Ли задает (более или менее единственным образом при
некоторых дополнительных предположениях) группу Ли. Когда мы будем
говорить об алгебре Ли 0, мы всегда будем подразумевать "алгебру Ли
группы Ли G" (независимо от того, задана ли группа G явно или нет).
144
Приложение 1
0 -Z У
Z 0 -а
У X 0
Отметим другую точку зрения на этот объект: adx является векторным полем
на д (его значение в точке Y равно [X,У]), фундаментальным векторным
полем2 присоединенного действия, ассоциированного с X.
Пример 1 (продолжение). Рассмотрим группу вращений G = 50(3) евклидова
пространства R3. Дифференцируя равенство 1АА - Id в Id, получаем, что
касательное пространство является векторным пространством g = во(3)
кососимметричных 3 х 3-матриц. Используя определения выше, находим, что
группа G действует на g при помощи сопряжений (это и есть присоединенное
действие) и что скобка Ли на g совпадает с коммутатором [X, Y] = XY - YX
(это верно всегда для групп матриц). Заметим, что отображение
<Р • (x,y,z) I-^
является изоморфизмом алгебр Ли (в этих рамках становится очевидным
тождество Якоби для векторного произведения) и что сопряжение
кососимметричных матриц при помощи вращений совпадает с каноническим
действием при помощи вращений в R3.
Пример 2. Пусть G = 50(2,1) - группа изометрий
квадратичной
формы х2 + у2 - z2 в R3. Пусть J - матрица
этой формы, так
что А ? 50(2,1) тогда и только тогда, когда lAJA = J. Тогда алгебра Ли
состоит из всех матриц X, таких что tXJ + JX = 0. Легко проверить, что
отображение
/0 -z у (р : (ж, y,z) \ z 0 х
\ У х 0
устанавливает изоморфизм между $о(2,1) и R3 и что присоединенное действие
снова совпадает со стандартным действием группы 50(2,1)
2Если группа Ли G действует на многообразии W, то любой вектор X алгеб-
ры Ли 0 задает векторное поле X на W. фундаментальное векторное поле
этого действия: Х(ж) = T\fx(X), где fx является орбитой отображения g \-ь
g- х.
Пуассонова структура на коалгебре JIu
145
в R3. Следовательно, присоединенные орбиты представляют собой поверхности
гиперболоидов х2 4- у2 - z2 = с (при с ф 0), два открытых конуса х2 4- у2
- z2 - 0 (z > 0 и z < 0) и точку (0,0,0) (см. рис. 22).
Рис. 22. (Ко)присоединенные орбиты групп ?0(3) и ?0(2,1)
Изучим сопряженное векторное пространство д*. Для g ? G определим
Ad* : g* -> g*
по правилу (Ad*(?),X) = (?, Ad^-i X). Таким образом, мы получаем (левое)
действие группы О, коприсоединенное действие. Как выше, получаем
отображение
G -> End g* g\->¦ Ad*,
которое можно продифференцировать в 1:
End g*
ad^,
так что
<ad5f€,y) = ",ad_xy)
= -(е, [x,y]).
Как и выше, ad^ является векторным полем на д*, фундаментальным векторным
полем коприсоединенного действия, ассоциированного с X.
146
Приложение 1
Пример 1 (продолжение). Коприсоединенное действие группы ?0(3) найо(З)* =
R3 (см. 1.5) также представляет собой действие при помощи вращений.
Следовательно, коприсоединенные орбиты суть двумерные сферы с центром в
точке 0, а единственная сингулярная орбита есть сфера радиуса 0. В точке
v симплектическая форма на соотвествующей двумерной сфере определяется по
формуле и>V(X,Y) = v • (X х Y).
Все эти построения являются каноническими, а предыдущая формула очень
похожа на определение скобки Пуассона на С°° (д*). Например, построенная
выше скобка Пуассона, как и любая другая скобка Пуассона, позволяет с
любой функцией g связать (гамильтоново) векторное поле по правилу Xg(?) =
- ad^^(^), так как
-xg(o • / = {/,*} (о = <*, [df(o,dgm =
= dfit) (ad^o(0) •
1.3. Коприсоединенные орбиты и симплектические структуры на них
Для любого ? Е д* определим кососимметричную билинейную форму на g
равенством
(Х,У) = {?,[Х,У]>
= -(adif,r).
Ядро формы представляет собой пространство всех векторов X, таких что
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама