Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 43

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 63 >> Следующая

векторное поле ad^ обращается в нуль в точке ?.
Рассмотрим теперь коприсоединенную орбиту точки ? и орбитальное
отображение Д : G -> д*. Касательное отображение ТхД в 1 связывает с
элементом X значение ad^(?) фундаментального векторного поля
коприсоединенного действия. Таким образом, задает невырожденную
кососимметричную билинейную форму на факторпространст-ве д/КегТхД. Это
чисто линейно-алгебраический аспект формы Теперь воспользуемся
геометрическим подходом: Т± Д индуцирует изоморфизм
fl/KerTi/€ ->IHG-O-
Пуассонова структура па коалгебре JIu 147
Следовательно, меняя ? вдоль орбиты, мы получаем невырожденную 2-форму а;
на орбите О заданную выражением
(ad^),ad*(?)) =ut(X,Y).
Непосредственные вычисления, основанные на тождестве Якоби в алгебре g и
на инвариантности ц;, показывают, что
duo (ad^,ady,ad^) = 0 VX, F,ZGg.
Поэтому duo обращается в нуль на фундаментальных векторных полях.
Поскольку они порождают касательное пространство к орбите (по
определению), то 2-форма ио замкнута, так что она определяет симплекти-
ческую форму на орбите О.
Нам осталось проверить, что мы получили симплектическое слоение
канонической пуассоновой структуры на алгебре д*. Рассмотрим две функции
/, g ? С°° (д*) и скобку Пуассона {f,g}0 их ограничений на данную орбиту
О, определенную через описанную выше симплекти-ческую форму на О. Тогда
df(0 (ad?(0) = <ad?(0,tf(0>
= (t,[d№,Y])
= и>( то, У)
= ^ad^?)(?),ady(?)^ .
Следовательно, для симплектической формы со на орбите О, которая содержит
?, гамильтоново векторное поле функции /|0 задается равенством
*°о(0=а^(€)").
Оно является гамильтоновым векторным полем функции / для канонической
пуассоновой структуры. Поэтому со задает скобку Пуассона на орбите О,
такую что
v/,g е с°° (в*), {f\0,g\o} = {f,g}\0,
а симплектическое слоение совпадает со слоением на орбиты.
148
Приложение 1
1.4. Функции Казимира и инвариантные функции
Пусть / - функция Казимира на д*. Проверим, что она постоянна на
коприсоединенных орбитах (или инвариантна относительно ко-присоединенного
действия группы G). Пусть X - любой элемент g и пусть gx - соотвествующая
линейная форма на д*. Тогда имеем:
о = {/,"*т = <& жм>
= <а(Ъ0$,№)),
так что df обращается в нуль на фундаментальных векторных полях и,
следовательно, на касательном пространстве к любой коприсоединен-ной
орбите.
Обратно, пусть / - функция, инвариантная относительно Ad*. Она постоянна
на орбитах, поэтому {f\gx} = 0 для всех X Е д. В силу правила Лейбница
можно заключить, что / коммутирует со всеми полиномами на д* и,
следовательно, со всеми функциями.
Таким образом, Аё*-инвариантные функции на д* совпадают с функциями
Казимира. В хороших случаях (например, когда группа G компактна или
алгебра ^полупроста) инвариантных функций достаточно для описания
коприсоединенных орбит общего вида. Тогда симплек-тические листы
представляют собой связные компоненты совместных поверхностей уровня
функций Казимира. Напомним, что в этом случае мы смогли ввести понятие
интегрируемых систем на пуассоновом многообразии (см. 1.3 из введения).
Коразмерность орбиты общего вида совпадает с "количеством инвариантных
функций", рангом алгебры Ли.
Замечание. Однако есть случаи, когда функции Казимира не различают орбиты
(см. контрпример ниже). Существуют также случаи, когда листы общего вида
не совпадают с компонентами поверхностей уровня функций Казимира.
Пример 1 (продолжение). Инвариантные функции на R3 = яо(3)* - это функции
от х2 + у2 + z2 (можно непосредственно проверить, что х2 + у2 + z2
коммутирует с координатными функциями и, следовательно, со всеми
функциями). Заметим, что в этом случае коприсоединенные орбиты совпадают
с поверхностями уровня функций Казимира (см. рис. 22).
Пуассонова структура на коалгебре Ли
149
1.5. Отождествление с q
Несмотря на то, что не существует канонического отождествления д* с д,
всегда можно построить изоморфизм между ними, используя любую
невырожденную симметричную билинейную форму. Здесь мы хотим большего, а
именно: мы хотим отождествить не только векторные пространства д* и д, но
также присоединенные и коприсоеди-ненные действия. Для этого нам нужна
невырожденная симметричная билинейная форма, такая что
(Ad* X, Adg Y) = (X, Y) Vg e G, VX, Y <E g.
Заметим, что это эквивалентно следующему:
(X, Ad*-i Y) = (Ad^X, Y) Vg e G, VX, Y e g, так что отображение
0 -> 0*
X^(X,-)
меняет местами действия Ad и Ad*. На инфинитезимальном уровне это условие
принимает вид:
(X,[y,Z]) = ([Z,X],y>.
Замечание. Если группа Ли G компактна, то достаточно легко построить
инвариантную невырожденную симметричную билинейную форму, исходя из любой
положительно определенной формы и затем усредняя ее. Вообще говоря, даже
если всегда существует инвариантная симметричная форма, например, форма
Киллинга (X, Y) = tr(adx°ady), то не всегда можно найти невырожденную
форму. Тем не менее, если g полупроста, то сама форма Киллинга является
невырожденной (это фактически одно из возможных определений полупростой
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама