Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 45

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 63 >> Следующая

суммой двух подалгебр Ли:
g = а+ Ь
(эта прямая сумма есть прямая сумма векторных подпространств, а не алгебр
Ли; это означает, что [а, Ь\ не обязано обращаться в нуль при a G а и b Е
Ь). Обозначим через Р+ и Р_ две проекции на а и Ь соотвественно,
определенные разложением. Положим Х± = Р±Х и
Д=±(Р+-Р_).
154
Приложение 2
В этом случае
[X, Y]r = 1 ([Х+ - X-, Y] + [X, Y+ - У_]) = i ([Х+ - Х_, У+ + У_] + [Х+ +
Х_, У+ - У_])
= [х+, У+] - [Х_, У_].
Эта скобка, очевидно, является скобкой Ли: она наделяет g структурой
алгебры Ли как прямую сумму а 0 Ь (с точностью до знака на Ь). Обычно эту
алгебру Ли обозначают через д0, а [, ]RJ {, }R и X^ через [, ]0, {, }0, и
Х°, даже если это и не очень последовательно. Заметим, что если р -
инвариантная функция на д*, то
о = а<^(?)(?) = ас^(?)+(о+a'^-d(p(0-(?)*
Тогда
а(^л^(с)(0 = _ас^(?)_(?)*
Отсюда немедленно получаем
Следствие 2.1.2. Пусть р - инвариантная функция на д*. Тогда
Если риф - две инвариантные функции, то они коммутируют относительно
обеих скобок Пуассона.
2.2. АКС-утверждение
Заметим, что теорема 2.1.1 и следствие 2.1.2 дают систематический подход
к построению гамильтоновых систем, обладающих достаточным количеством
первых интегралов (всеми инвариантными функциями). Затем мы используем их
для построения гамильтоновых систем на коалгебре а* алгебры Ли а,
снабженной канонической пуассоновой структурой. Эти гамильтоновы системы
также имеют достаточное количество первых интегралов. Это и есть
содержание теоремы Адлера-Костанта-Симса.
R-матрицы и "АКС-теорема"
155
Более точно, предположим, что g - алгебра Ли группы G, а 1 и В -
подгруппы G, такие что векторное пространство g является прямой суммой их
алгебр Ли а и Ь. Рассмотрим алгебру Ли g = а + Ь со второй скобкой Ли [,
]0 и попытаемся вложить а* в д. Для этого предположим, что мы имеем
инвариантную симметричную билинейную форму (, ), которая позволяет
отождествить g с сопряженным векторным пространством д*.
Пусть / - функция на д. Имея билинейную форму, можно вычислить ее
градиент Vxf {х Е д), который можно представить в виде суммы (Vxf)+ +
(V;c/)_. Если элементу х соответствует элемент ? в коалгебре д*, то
функция /, рассматриваемая как функция на д*, будет обозначаться через
так что d(p(?) = Vxf Е д. Если функция / ad-инвариантна, то функция ad^-
инвариантна и
= - addv(c)- (О согласно 2-1.2 = -=
Если мы хотим описать таким образом гамильтонову систему на а*, то нам
необходимо включение а* С д. Изоморфизм
0^0* х I-?
отображает ортогональное подпространство Ь1- на аннултятор Ь°
пространства Ь в д*, который, в свою очередь, отождествляется с а* (см.
рис. 24); очевидно, мы можем поменять местами а и Ь.
Замечание. Как следствие, коприсоединенные орбиты подгруппы А в алгебре
а* можно рассматривать в Ь1- С g - g*. Если g Е А С то обозначим через
(Ad*#) - его коприсоединенное действие на а*
и через Ad*# его коприсоединенное действие на д* как элемента д. Пусть х
- элемент алгебры Ъ1- = а* и X = + X- - элемент д.
Тогда, в очевидных обозначениях, имеем:
((Ad*g)a (х),Х+ + Х-) = (x,(Adg)(X+)).
Это показывает, что (Ad*#)a (х) является проекцией (Ad*#) (х) на Ь-1.
156
b
a
Рис. 24. АКС-разложение
Предположим теперь, что х Е Ь1- = а*. Заметим, что в действительности нам
не нужно, чтобы / было определено на всем д. Пусть Г С Ь1 - объединение
коприсоединенных орбит (коалгебры а*). Предположим, что / определено в
некоторой инвариантной окрестности множества Г в 0. Так как (Vxf)_ Е Ь,
то
(инвариантность формы влечет включение [b-1, Ь] С Ьх), поэтому мы не
выходим за пределы Ь^~. Кроме того, Х(r)(?) является гамильтоновым
векторным полем относительно структуры {, }0, которая и есть в точности
структура Кириллова-Костанта3 на а*. Из следствия 2.1.2 вытекает
Следствие 2.2.1 (АКС-теорема). Пусть д - алгебра Ли, снабженная
инвариантной невырожденной симметричной билинейной формой. Пред-положим,
что векторное пространство g представлено в виде прямой суммы двух
подалгебр Ли а + Ь, так что g = a-L + b"L м Ь1 отождествляется с а*.
Пусть Г С Ь1 - объединение коприсоединенных орбит в коалгебре а* и пусть
/ - инвариантная функция, заданная в окрестности Г. Тогда гамильтонова
система, ассоциированная с f, имеет вид
(нижний индекс "-" обозначает проекцию на Ь). Кроме того, все
инвариантные функции, заданные в окрестности Г? попарно коммутируют.
X =
З3аметим, что скобку Пуассона на а* можно записать в виде {f,g}(x) =
((r),[(V*/)+, (V*^]) при х ? Ьх, (Vxf)+, (Vxg)+ € П.
R-матрицы и "АКС-теорема"
157
Замечание. С геометрической точки зрения ситуация следующая: совместные
поверхности уровня инвариантных функций на алгебре Ли д являются
(ко)присоединенными орбитами. Потоки, которые эти функции задают на Г,
сохраняют пересечение Г с орбитами, являющимися совместными поверхностями
уровня первых интегралов. Заметим, что количество коммутирующих первых
интегралов, которые мы получили, ограничено рангом алгебры Ли д. Поэтому
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама