|
Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.ISBN 5-7029-0312-9 Скачать (прямая ссылка):  суммой двух подалгебр Ли: g = а+ Ь (эта прямая сумма есть прямая сумма векторных подпространств, а не алгебр Ли; это означает, что [а, Ь\ не обязано обращаться в нуль при a G а и b Е Ь). Обозначим через Р+ и Р_ две проекции на а и Ь соотвественно, определенные разложением. Положим Х± = Р±Х и Д=±(Р+-Р_). 154 Приложение 2 В этом случае [X, Y]r = 1 ([Х+ - X-, Y] + [X, Y+ - У_]) = i ([Х+ - Х_, У+ + У_] + [Х+ + Х_, У+ - У_]) = [х+, У+] - [Х_, У_]. Эта скобка, очевидно, является скобкой Ли: она наделяет g структурой алгебры Ли как прямую сумму а 0 Ь (с точностью до знака на Ь). Обычно эту алгебру Ли обозначают через д0, а [, ]RJ {, }R и X^ через [, ]0, {, }0, и Х°, даже если это и не очень последовательно. Заметим, что если р - инвариантная функция на д*, то о = а<^(?)(?) = ас^(?)+(о+a'^-d(p(0-(?)* Тогда а(^л^(с)(0 = _ас^(?)_(?)* Отсюда немедленно получаем Следствие 2.1.2. Пусть р - инвариантная функция на д*. Тогда Если риф - две инвариантные функции, то они коммутируют относительно обеих скобок Пуассона. 2.2. АКС-утверждение Заметим, что теорема 2.1.1 и следствие 2.1.2 дают систематический подход к построению гамильтоновых систем, обладающих достаточным количеством первых интегралов (всеми инвариантными функциями). Затем мы используем их для построения гамильтоновых систем на коалгебре а* алгебры Ли а, снабженной канонической пуассоновой структурой. Эти гамильтоновы системы также имеют достаточное количество первых интегралов. Это и есть содержание теоремы Адлера-Костанта-Симса. R-матрицы и "АКС-теорема" 155 Более точно, предположим, что g - алгебра Ли группы G, а 1 и В - подгруппы G, такие что векторное пространство g является прямой суммой их алгебр Ли а и Ь. Рассмотрим алгебру Ли g = а + Ь со второй скобкой Ли [, ]0 и попытаемся вложить а* в д. Для этого предположим, что мы имеем инвариантную симметричную билинейную форму (, ), которая позволяет отождествить g с сопряженным векторным пространством д*. Пусть / - функция на д. Имея билинейную форму, можно вычислить ее градиент Vxf {х Е д), который можно представить в виде суммы (Vxf)+ + (V;c/)_. Если элементу х соответствует элемент ? в коалгебре д*, то функция /, рассматриваемая как функция на д*, будет обозначаться через так что d(p(?) = Vxf Е д. Если функция / ad-инвариантна, то функция ad^- инвариантна и = - addv(c)- (О согласно 2-1.2 = -= Если мы хотим описать таким образом гамильтонову систему на а*, то нам необходимо включение а* С д. Изоморфизм 0^0* х I-? отображает ортогональное подпространство Ь1- на аннултятор Ь° пространства Ь в д*, который, в свою очередь, отождествляется с а* (см. рис. 24); очевидно, мы можем поменять местами а и Ь. Замечание. Как следствие, коприсоединенные орбиты подгруппы А в алгебре а* можно рассматривать в Ь1- С g - g*. Если g Е А С то обозначим через (Ad*#) - его коприсоединенное действие на а* и через Ad*# его коприсоединенное действие на д* как элемента д. Пусть х - элемент алгебры Ъ1- = а* и X = + X- - элемент д. Тогда, в очевидных обозначениях, имеем: ((Ad*g)a (х),Х+ + Х-) = (x,(Adg)(X+)). Это показывает, что (Ad*#)a (х) является проекцией (Ad*#) (х) на Ь-1. 156 b a Рис. 24. АКС-разложение Предположим теперь, что х Е Ь1- = а*. Заметим, что в действительности нам не нужно, чтобы / было определено на всем д. Пусть Г С Ь1 - объединение коприсоединенных орбит (коалгебры а*). Предположим, что / определено в некоторой инвариантной окрестности множества Г в 0. Так как (Vxf)_ Е Ь, то (инвариантность формы влечет включение [b-1, Ь] С Ьх), поэтому мы не выходим за пределы Ь^~. Кроме того, Х(r)(?) является гамильтоновым векторным полем относительно структуры {, }0, которая и есть в точности структура Кириллова-Костанта3 на а*. Из следствия 2.1.2 вытекает Следствие 2.2.1 (АКС-теорема). Пусть д - алгебра Ли, снабженная инвариантной невырожденной симметричной билинейной формой. Пред-положим, что векторное пространство g представлено в виде прямой суммы двух подалгебр Ли а + Ь, так что g = a-L + b"L м Ь1 отождествляется с а*. Пусть Г С Ь1 - объединение коприсоединенных орбит в коалгебре а* и пусть / - инвариантная функция, заданная в окрестности Г. Тогда гамильтонова система, ассоциированная с f, имеет вид (нижний индекс "-" обозначает проекцию на Ь). Кроме того, все инвариантные функции, заданные в окрестности Г? попарно коммутируют. X = З3аметим, что скобку Пуассона на а* можно записать в виде {f,g}(x) = ((r),[(V*/)+, (V*^]) при х ? Ьх, (Vxf)+, (Vxg)+ € П. R-матрицы и "АКС-теорема" 157 Замечание. С геометрической точки зрения ситуация следующая: совместные поверхности уровня инвариантных функций на алгебре Ли д являются (ко)присоединенными орбитами. Потоки, которые эти функции задают на Г, сохраняют пересечение Г с орбитами, являющимися совместными поверхностями уровня первых интегралов. Заметим, что количество коммутирующих первых интегралов, которые мы получили, ограничено рангом алгебры Ли д. Поэтому
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
