|
Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.ISBN 5-7029-0312-9 Скачать (прямая ссылка):  подпространств А\, т. е. все пространство С^, на котором действует матрица А (заметим, что благодаря построенному продолжению это верно независимо от того, является ли Л точкой в Р1, для которой все собственные пространства одномерны, или нет). Теперь степень d легко вычислить с помощью теоремы Гротендика-Римана-Роха (см. П.4.2): ch (А*Я) td(P1) = Л* (сЬ(Я) td(C)) ? Я* (P^Z). (1) Поскольку А*Я тривиально и имеет ранг ЛГ, а С и Р1 - кривые, то все остальное можно выразить просто в терминах генераторов и группы H2(C;Z) и t группы Я2(P*;Z). А именно, сЬ(Я) = 1 + du, td(C) = 1 + (1 - g)u, где g - род4 кривой С, a td(P1) = 1 + t (та же самая формула, но для рода 0). Кроме того, А*и = t и А*1 = iV, так как А является отображением степени N. Следовательно, (1) дает Щ1 + t) = А* [(1 + du) (1 + (1 - g)u)] - А* [1 + (d - g + 1)и] = N + (d - g + l)t. Окончательно имеем: d = N + g - 1. 43аметим, что g может быть выражено через N, степени матрицы А\ по Л и Л- 1 и поведение А\ в точках 0 и оо. Отображение собственных векторов и линеаризация потоков 165 3.2. Касательное отображение Основной результат работы Гриффитса [36] заключается в вычислении отображения, касательного к отображению собственных векторов (рс - Тс Picd((7). Здесь мы хотим найти образ касательного вектора. Зафиксируем последний, рассматривая достаточно малую гладкую кривую t A\(t) в Тс* Мы должны найти ТахЧ>с ( j^A(%=0) ' т. е. инфинитезимальную вариацию собственного вектора Lt = Для краткости обозначим Д\(0) через Лд, Фах0) через фг, а фАх = ф0 через ф. Таким образом, мы имеем локальное голоморфное нигде не обращающееся в нуль сечение v(x,t) векторного расслоения собственных векторов (это расслоение есть V± = ф$0( - 1) = Ь%). Рассмотрим его производную в точке 0. Для формулировки первого свойства этой производной нам необходимо рассмотреть точную последовательность пучков (они фактически являются векторными расслоениями) над PiV_1(C) = Р: 0 ->• Op ->CN (r) 0(1) -> ТР -> 0. Напомним, что отображение включения определяется (в терминах векторных расслоений) соответствием (/, и) I У и ((6i)|, ? * • * ? (eiv) h) ? где I - прямая в (точка пространства Р), вектор из слоя 0(1) в I - линейная форма на /, а {е\,... ?е^) - базис, двойственный каноническому базису в С*. Применяя операцию антиувлечения ф*, отобразим его обратно в С и получим О -у Ос -> CN (r) L -> ф*ТР -> 0. (2) Мы воспользуемся связывающим гомоморфизмом в ассоциированной длинной точной последовательности когомологий: 166 Приложение 3 Напомним, что Н1 (С; Ос) является касательным пространством к Picd(C) в любой точке (см. Приложение 4). Окончательно получаем Предложение 3.2.1. Производная v локально голоморфного нигде не обращающегося в нуль сечения v пространства L*; вычисленная в точке 07 задает локально голоморфное сечение N-плоского пучка CN 0 L над С. Ее класс в факторпространстве ф*ТР не зависит от выбора v. Таким образом, эта производная определяет глобально голоморфное сечение [г?] пространства ф*ТР. Кроме того, 6[v]=TAx<pc (|Ла(%=0) • Замечание. Векторное пространство Н° (ф*ТР) можно рассматривать как касательное пространство к пространству всех деформаций отображения ф : С Р (кривая С фиксирована). Поэтому наша фактическая кривая Фах{1) определяет элемент [v] в этом векторном пространстве (см. работу Гриффитса [36]). Доказательство. Любое сечение v пространства V определяет сечение av в сопряженном пространстве (по формуле av(v) = 1). В терминах этого сечения включение С CN 0 L задается как (х,и) |-> (x,u(v 0 av)). Производная v в точке 0 снова является вектором в С^. Тогда г? 0 av представляет собой локальное сечение пространства 0 L. Это сечение фактически не сильно зависит от г;: пусть р - нигде не обращающаяся в нуль голоморфная функция, a w-pv. Тогда aw-av/p и (Л w(r)aw- -- v 0 av + v 0 av. \р(°) / Предложение доказано. ¦ Теперь мы хотим получить больше информации о касательных векторах, образы которых мы вычисляем. Отображение собственных векторов и линеаризация потоков 167 Предложение 3.2.2. Для любой матрицы В\ из д[А,А 1]? матрица [А\,В\] является касательной к Тс в точке А\. Замечание. Чтобы определить отображение (рс, мы предположили, что кривая С гладкая. Заметим, что здесь не делается никаких предположений (и утверждений) относительно гладкости Тс- Мы лишь утверждаем, что [А\,В\] содержится в ядре касательного отображения к функциям, определяющим Тс- Доказательство. Это утверждение эквивалентно тому, что спектр постоянен вдоль траекторий векторного поля А\ н-"- [А\,В\\, другими словами, вдоль решений дифференциального уравнения А\ = [Ал, Дл]. Это более или менее очевидно, если мы знаем, что решения имеют вид Ax(t) = UWAxQtylHt)-1. Последнее также легко установить. Чтобы проверить, что tr А\ является постоянным, необходимо рассмотреть его производную вдоль потока: ktr (а^Ах) = ktr (Л*-1[ЛА,Вл]) = ktr[Abx,Bx] = 0. ¦ Следующей нашей целью является вычисление образов этих касательных
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
