Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 48

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 63 >> Следующая

подпространств А\, т. е. все пространство С^, на котором действует
матрица А (заметим, что благодаря построенному продолжению это верно
независимо от того, является ли Л точкой в Р1, для которой все
собственные пространства одномерны, или нет). Теперь степень d легко
вычислить с помощью теоремы Гротендика-Римана-Роха (см. П.4.2):
ch (А*Я) td(P1) = Л* (сЬ(Я) td(C)) ? Я* (P^Z). (1)
Поскольку А*Я тривиально и имеет ранг ЛГ, а С и Р1 - кривые, то все
остальное можно выразить просто в терминах генераторов и группы H2(C;Z) и
t группы Я2(P*;Z). А именно, сЬ(Я) = 1 + du, td(C) = 1 + (1 - g)u, где g
- род4 кривой С, a td(P1) = 1 + t (та же самая формула, но для рода 0).
Кроме того, А*и = t и А*1 = iV, так как А является отображением степени
N. Следовательно, (1) дает
Щ1 + t) = А* [(1 + du) (1 + (1 - g)u)]
- А* [1 + (d - g + 1)и]
= N + (d - g + l)t.
Окончательно имеем: d = N + g - 1.
43аметим, что g может быть выражено через N, степени матрицы А\ по Л и Л-
1 и поведение А\ в точках 0 и оо.
Отображение собственных векторов и линеаризация потоков 165
3.2. Касательное отображение
Основной результат работы Гриффитса [36] заключается в вычислении
отображения, касательного к отображению собственных векторов (рс - Тс
Picd((7). Здесь мы хотим найти образ касательного вектора. Зафиксируем
последний, рассматривая достаточно малую гладкую кривую t A\(t) в Тс* Мы
должны найти
ТахЧ>с ( j^A(%=0) '
т. е. инфинитезимальную вариацию собственного вектора Lt = Для краткости
обозначим Д\(0) через Лд, Фах0) через фг, а фАх = ф0 через ф.
Таким образом, мы имеем локальное голоморфное нигде не обращающееся в
нуль сечение v(x,t) векторного расслоения собственных векторов (это
расслоение есть V± = ф$0( - 1) = Ь%). Рассмотрим его производную в точке
0.
Для формулировки первого свойства этой производной нам необходимо
рассмотреть точную последовательность пучков (они фактически являются
векторными расслоениями) над PiV_1(C) = Р:
0 ->• Op ->CN (r) 0(1) -> ТР -> 0.
Напомним, что отображение включения определяется (в терминах векторных
расслоений) соответствием
(/, и) I У и ((6i)|, ? * • * ? (eiv) h) ?
где I - прямая в (точка пространства Р), вектор из слоя 0(1) в I -
линейная форма на /, а {е\,... ?е^) - базис, двойственный каноническому
базису в С*. Применяя операцию антиувлечения ф*, отобразим его обратно в
С и получим
О -у Ос -> CN (r) L -> ф*ТР -> 0. (2)
Мы воспользуемся связывающим гомоморфизмом в ассоциированной длинной
точной последовательности когомологий:
166 Приложение 3
Напомним, что Н1 (С; Ос) является касательным пространством к Picd(C) в
любой точке (см. Приложение 4). Окончательно получаем
Предложение 3.2.1. Производная v локально голоморфного нигде не
обращающегося в нуль сечения v пространства L*; вычисленная в точке 07
задает локально голоморфное сечение N-плоского пучка CN 0 L над С. Ее
класс в факторпространстве ф*ТР не зависит от выбора v. Таким образом,
эта производная определяет глобально голоморфное сечение [г?]
пространства ф*ТР. Кроме того,
6[v]=TAx<pc (|Ла(%=0) •
Замечание. Векторное пространство Н° (ф*ТР) можно рассматривать как
касательное пространство к пространству всех деформаций отображения ф : С
Р (кривая С фиксирована). Поэтому наша фактическая кривая Фах{1)
определяет элемент [v] в этом векторном пространстве (см. работу
Гриффитса [36]).
Доказательство.
Любое сечение v пространства V определяет сечение av в сопряженном
пространстве (по формуле av(v) = 1). В терминах этого сечения включение С
CN 0 L задается как
(х,и) |-> (x,u(v 0 av)).
Производная v в точке 0 снова является вектором в С^. Тогда г? 0 av
представляет собой локальное сечение пространства 0 L. Это сечение
фактически не сильно зависит от г;: пусть р - нигде не обращающаяся в
нуль голоморфная функция, a w-pv. Тогда aw-av/p и

w(r)aw- -- v 0 av + v 0 av.
\р(°) /
Предложение доказано. ¦
Теперь мы хотим получить больше информации о касательных векторах, образы
которых мы вычисляем.
Отображение собственных векторов и линеаризация потоков
167
Предложение 3.2.2. Для любой матрицы В\ из д[А,А 1]? матрица [А\,В\]
является касательной к Тс в точке А\.
Замечание. Чтобы определить отображение (рс, мы предположили, что кривая
С гладкая. Заметим, что здесь не делается никаких предположений (и
утверждений) относительно гладкости Тс- Мы лишь утверждаем, что [А\,В\]
содержится в ядре касательного отображения к функциям, определяющим Тс-
Доказательство.
Это утверждение эквивалентно тому, что спектр постоянен вдоль траекторий
векторного поля А\ н-"- [А\,В\\, другими словами, вдоль решений
дифференциального уравнения
А\ = [Ал, Дл].
Это более или менее очевидно, если мы знаем, что решения имеют вид Ax(t)
= UWAxQtylHt)-1.
Последнее также легко установить. Чтобы проверить, что tr А\ является
постоянным, необходимо рассмотреть его производную вдоль потока:
ktr (а^Ах) = ktr (Л*-1[ЛА,Вл]) = ktr[Abx,Bx] = 0.
¦
Следующей нашей целью является вычисление образов этих касательных
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама