Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 50

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 63 >> Следующая

Тот факт, что ip с линеаризует A\(t) в Picd(C), можно понимать двояко:
• либо что Lt = ipc принадлежит прямой линии6, другими
словами, что ускорение, производная скорости dLt/dt, коллинеар-но
скорости;
• либо что сама скорость постоянна. Это самое сильное из возможных
требований: не только кривая Lt является прямой линией, но и параметр t
является линейным параметром.
6 Должно быть ясно, что такое прямая линия на торе. Если нет, то
следующую фразу в тексте можно взять в качестве определения.
172
Приложение 3
Заметим, что если мы хотим выписать и/или изучить поведение решений
данного дифференциального уравнения, то параметр имеет большое значение.
Несмотря на то, что приведенные выше результаты Гриффитса можно
использовать для обсуждения обоих случаев, мы ограничимся более сильным
свойством.
В общем случае, рассмотренном Гриффитсом, мы получаем
Следствие 3.3.1. Предположим, что A\(t) - интегральная кривая векторного
поля [А\7В\] на Тс* Тогда необходимое и достаточное условие того, что
образ Lt в Picd(C) линеен7 есть
о
по модулю хвостов Лорана глобально мероморфных функций на С7 у которых
дивизоры полюсов D.
Замечание. Можно выразить это условие в терминах вычетов в D, и так
достаточно часто поступают на практике. Всюду в книге можно встретить
применения теорем 3.2 и 3.3. Достаточно смелому читателю предлагается
попытаться применить их к уравнению Лакса из III.3.3, чтобы проверить,
что его поток не линеаризуется на якобиане спектральной кривой.
Ситуация в случае Реймана является одной из самых простых: из теоремы
3.2.4 непосредственно выводим
Следствие 3.3.2. Отображение собственных векторов рс линеаризует потоки
всех векторных полей вида
[Ax,f(X,Ax)+]
при / G С[X,X-\Y].
Доказательство.
Действительно, образ касательного вектора является коциклом, определяемым
функцией /. Этот коцикл не зависит от решения и, следовательно, от
времени. ¦
Рассмотрим линейное расслоение Ft, которое задается на С при помощи
функции сдвига exp(tf) на Cq. Приведем элегантную переформулировку
утверждений 3.2.4 и 3.3.2 (фактически эта формулировка является в
точности утверждением Реймана [74]).
Отображение собственных векторов и линеаризация потоков 173
Теорема 3.3.3. Пусть Et - расслоение собственных векторов решения A\(t)
уравнения
А\ = [А\>/(А, А\)+].
Тогда Et - Eq (3) Ft.
Алгебра Ли g = g[A, А-1] распадается в сумму подалгебр Ли а полиномов по
А и Ь полиномов по А-1 без постоянного члена. Пусть Ап В -
соответствующие группы Ли.
Лемма 3.3.4. Зафиксируем (постоянную) матрицу А\ и положим М\ = /(А, А\).
Предположим, что ехр(?Мд) представляется в виде
ехр (ША) = a(t)~1b(t),
где а и b - пути в А и В соответственно, определенные для достаточно
малого t. Тогда решение гамильтонова уравнения с начальным условием Ад(0)
= А\ имеет вид
A\(t) = a(f)AA(0)a(i)_1 = 6(^)ЛА(0)6(*)-1.
Доказательство.
Это в точности интегральный вариант теорем типа АКС из Приложения 2,
который получается дифференцированием по ?. Дополнительные разъяснения
приведены в замечании ниже. ¦
Доказательство теоремы.
Предполагая, что задача факторизации решена, мы имеем в точности:
A\{t) = a(?)AA(0)a(*)-1 = 6(i) Аа (0)6(f)_ 1.
Отображение a(t) является автоморфизмом пространства С^, на котором
действуют наши матрицы; это отображение полиномиально по А Е С. То же
самое верно для b(t)7 только оно полиномиально по А-1 G С. Оба
отображения a(t) и b(t) определяют изоморфизмы между Et и Eq на U+ ГШ_.
Их можно сравнивать, поскольку
a(f)_1&(?)\Ео = ехр (ША) \Ео-
174
Приложение 3
Однако Е0 является расслоением собственных векторов А\: для любого
сечения v = v(A,/i) пространства Е0 имеем: A\v = /iv, так что
Mxv(\,n) = f(X,Ax)v( A,/i) = /(А,//,)?;(А,//),
а ехр(?Мл) |я0 представляет собой умножение на exp (tf).
Доказательство еще не закончено, так как оно основано на решении задачи
факторизации, как утверждается в лемме 3.3.4. Эта задача известна как
задача Римана и тот факт, что она нетривиальна, можно понять даже из
приведенного доказательства. Функцию ехр(?Мд) также можно рассматривать
как функцию склейки при построении голоморфного G'-расслоения
пространства РХ(С) со спектральным параметром А (здесь G - группа Ли,
соответствующая матричной алгебре Ли д). Решение задачи факторизации (см.
лемму 3.3.4) дает нам голоморфную тривиализацию этого расслоения.
Существуют нетривиальные голоморфные G-расслоения над Р1 (С). Рассмотрим
случай общей линейной группы (д - алгебра Ли всех комплексных матриц
размера N х N). Здесь мы можем воспользоваться теоремой Биркгоффа о
факторизации, которая дает
exp (tM\) = а(?)-1с&(?),
где с - диагональная матрица вида (Aai,... ,AaiV) для некоторых целых
сii. Тогда построенное iV-плоское расслоение над РХ(С) изоморфно 0(а±) 0
• * • 0 O(ajy). Доказательство теоремы Биркгоффа и обсуждения ее связи с
расслоениями над РХ(С) можно найти в Главе 8 книги Прессли и Сигала [72].
Очевидно, при t = 0 и, следовательно, при достаточно малых t мы получаем,
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама