|
Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.ISBN 5-7029-0312-9 Скачать (прямая ссылка):  [38]). Для удобства мы начнем изложение с напоминания (без доказательства) основных фактов относительно (комплексных) алгебраических кривых7 и их якобианов, с которыми мы встречались на протяжении всей книги. За дополнительными деталями мы отсылаем читателя к книгам Гриффитса и Харриса [37], Фаркаша и Кра [27], а также Рейсса [78]. 4.1. Комплексные кривые Римановой поверхностью X называется компактное связное комплексное аналитическое многообразие размерности 1. Риманова поверхность обладает фундаментальным инвариантом, родом g, который можно определить многими8 различными (но эквивалентными) способами. Род кривой полностью определяет топологию поверхности, поскольку он равен числу ручек, или, более точно, поскольку Hi(X;Z) й Z4 Род также дает много информации об аналитической структуре, так как он совпадает с размерностью комплексного векторного простран- 73начение алгебраических кривых осознавал даже Жюль Верн, как показывает цитата в начале книги. 8В книге Рейсса [78] приводится целых восемнадцать определений. 178 Приложение 4 ства голоморфных 1-форм на X, т. е. g = dimH°(n1x), где - пучок (ростки) голоморфных форм, a - пространст- во его (глобальных) сечений, т. е. пространство голоморфных 1-форм. Теорема Римана-Роха представляет собой главный аппарат исследования. Она является очень точной теоремой существования меро-морфных функций (см. ниже). Утверждение об эквивалентности двух определений рода g, приведенных выше, есть одно из следствий этой теоремы. Формула Римана-Гурвица. Пусть даны две римановы поверхности X и X"', а также отображение / : X X'. С помощью формулы Римана-Гурвица легко вычисляется эйлерова характеристика, которая позволяет сравнивать род кривых X и Х!. Мы достаточно часто пользуемся ей (даже без ссылки на нее) в настоящей книге, главным образом, для отображений степени 2. В этом случае, в соответствии с формулой Римана-Гурвица, эйлерова характеристика 2 - 2g кривой X равна удвоенной эйлеровой характеристике 2 - 2g' кривой X' минус число точек ветвления. Например, если отображение X -у Р1 степени 2 имеет четыре точки ветвления, то X - кривая рода 1. Пополнения аффинных кривых. Очень часто, особенно в настоящей книге, римановы поверхности рассматриваются как пополнения аффинных плоских кривых. Аффинной плоской кривой Ср называется множество нулей в С2 неприводимого полинома Р Е С[Х, Y]: Ср = {(Л,М)еС2|Р(Л,М)=0}. С кривой Ср естественным образом связывается корректно определенная (компактная) риманова поверхность Хр, такая что существуют два конечных подмножества Е С Ср и F С Хр, где Ср - Е = Хр - F. Таким образом, две поверхности совпадают, за исключением конечного множества точек: Хр компактно, тогда как Ср не может быть компактным, Хр является гладким, тогда как Ср может иметь особенности, которые суть точки из Е (заметим, что если кривая Ср гладкая, то Е = 0 и Хр является пополнением Ср). Комплексные кривые, вещественные кривые и их якобианы 179 Риманова поверхность Хр называется нормализацией9 кривой Ср. Конечно, можно пополнить особую аффинную кривую, добавляя "бесконечно удаленные" гладкие точкщ т. е. пополнить Ср, не затрагивая ее особые точки. Так обычно и поступают, когда имеют дело с семействами кривых, которые встречаются на протяжении всей книги (см., например, II.2.2, III.2, IV.2.1, IV.3.2, V.1.2 и Приложение 3). Более точно, это можно сделать, просто разделяя ветви кривой на бесконечности, как видно из примеров. Гиперэллиптические кривые. Если существует отображение кривой в Р1 степени 2, то такая кривая называется гиперэллиптичес-кой. Большинство кривых в этой книге являются гиперэллиптически-ми: это те кривые, которые задаются уравнениями вида у2 = Р(х) (х определяет отображение степени 2). С отображением степени 2 связана инволюция, которая в этом случае называется гиперэллиптической инволюцией (она имеет вид (ж,у) ь-)- (ху-у) при у2 = Р(х)). Применяя формулу Римана-Гурвица, получаем, что род кривой у2 - Р(х) равен g, если degP = 2g+ 1 или degP = 2g+ 2. 4.2. Якобианы и группы Пикара С комплексной кривой рода g принято связывать ее якобиан, комплексный g- мерный тор, который можно описать либо через интегрирование голоморфных форм, либо через дивизоры линейных расслоений. Определение якобиана посредством голоморфных 1-форм. Пусть X - комплексная кривая. Тогда можно задать естественное интегральное отображение 9Это понятие, конечно, можно рассматривать в алгебраической категории. Поскольку здесь мы приводим только обзор результатов и этому предмету посвящено много хороших книг то мы предпочли самый короткий путь, а не самый красивый. Мы не будем, например, различать понятия "кривая" и "риманова поверхность". ЯДХ; Z) Н°(^хГ 7 180 Приложение 4 которое, как нетрудно показать, является инъективным. Его образ совпадает с решеткой Л = Z2g в i?°(f^)* - ^g (по теореме Римана-Роха). Тогда якобиан представляет собой тор, полученный в результате факторизации:
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
