Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 53

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 63 >> Следующая

Касательное пространство к Jac(X) в каждой точке канонически изоморфно
пространству #°(П^)*, которое, в свою очередь, в силу двойственности
Серра, изоморфно Я^Ох), первой группе когомологий пучка Ох голоморфных
функций на X (это можно описать как подсчет вычетов).
Абелевы многообразия. Якобиан не является любым комплексным тором, т. е.
решетка Л не является любой решеткой в Cg - она обладает специальными
свойствами. Билинейные соотношения Римана показывают, что якобиан кривой
можно вложить в качестве алгебраического подмногообразия в некоторое
проективное пространство достаточно большой размерности. Это приводит к
более общему понятию абелевых многообразий, комплексных торов,
представляющих собой проективные многообразия. Мы отсылаем читателя к
книгам Мам-форда [64], а также Ланге и Биркенеке [57].
Дивизоры и группа Пикара. Пусть Div(X) - свободная абелева группа,
порожденная точками кривой А". Ее элементы, дивизоры, представляют собой
формальные комбинации
г?1
(I - конечное множество, Е Z, Р{ Е А). Например, мероморфная функция / на
А задает дивизор
(с учетом кратностей). То же самое верно для 1-форм.
Группа Div(X) снабжена естественным морфизмом на Z, который называется
степенью:
Jac(X) = Я°(П^)*/Л.
D = X!ш*-р*
(J) = нули / - полюсы /
Комплексные кривые, вещественные кривые и их якобианы 181
Дивизоры функций имеют степень 0, тогда как дивизоры форм имеют степень
2g - 2 (еще одно следствие теоремы Римана-Роха).
Группа Div(X) достаточно большая и в ней нет особого смысла. Чтобы
получить дополнительную важную информацию, рассмотрим отношение линейной
эквивалентности
D ~ Df 3 мероморфная функция /, такая что D - D' = (/).
Факторгруппа по этому отношению называется группой Пикара Pic(X). Ее
можно разбить на подмножества Picd(X), порожденные дивизорами степени tZ,
причем Pic°(X) является подгруппой.
Теорема Абеля-Якоби. Эта теорема утверждает, что интегральное отображение
Div°(X) ->
^~2(Pj - Qj) I-> J coj
Qj
задает изоморфизм
Pic°(X) -> Jac(X).
Если дана произвольная точка Q из X, то этот изоморфизм порождает
отображение и представление и этого изоморфизма
X -> Jac(X)
р
("-*/")
Q
(отображение Абеля-Якоби), которое является инъективным отображением,
если q ^ 1, и изоморфизмом, если g = 1: с точностью до выбора
произвольной точки Р кривые рода 1 суть группы (эллиптические кривые),
изоморфные своим якобианам.
Заметим, что и индуцирует изоморфизм
и* :ЯДХ;г) -> ЯДJac(JO;Z)
по определению Jac(X).
182
Приложение 4
Дивизоры с неотрицательными коэффициентами называются эффективными.
Заметим, что эффективные дивизоры степени d представляют собой точки
симметрического произведения
x(d) = Xd/Sd.
Естественное отображение
ХЛ) -> Picd(X)
является отображением "на" при d^g. При d = g - 1 его образ представляет
собой гиперповерхность в Pics_1(X), которая называется 0-дивизором.
Различные сдвиги этой гиперповерхности в компонентах групп Pic^(X) других
степеней и, в частности, в Pic°(X), или Jac(X), также называются 0-
дивизорами.
Определение группы Пикара через линейные расслоения.
На протяжении всей книги мы использовали отождествление между
комплексными линейными расслоениями и дивизорами. Комплексное линейное
расслоение на X можно определить при помощи голоморфных функций (функций
перехода)
/аф • Ua П Щ ---> С*,
которые позволяют склеивать тривиальные расслоения на открытых множествах
Ыа накрытия кривой X. Оно имеет глобальные мероморф-ные сечения (снова
теорема Римана-Роха). Такое сечение s можно рассматривать как множество
функций sa на Ыа, таких что на Ыа U Щ имеем: /а?д = sa/sp. Сечение s
обладает дивизором (s), которое определяется как дивизор функции (нули -
полюсы). Класс дивизора (s) в Pic(X), т. е. по модулю дивизоров функций,
корректно определен и зависит только от класса изоморфизмов голоморфных
расслоений.
Заметим, что, в частности, степень (s) зависит только от расслоения; она
является целым числом, которое есть также его первый класс Черна ci.
Обратно, любой дивизор (степени d) задает голоморфное линейное расслоение
(степени d). Тогда группу Пикара можно также отождествить с группой
линейных расслоений (это есть фактически группа с
Комплексные кривые, вещественные кривые и их якобианы
183
тензорным произведением линейных расслоений). Например, если s - сечение
линейного расслоения L, то дивизор
(c)=-<">
связан с двойственным линейным раслоением L*.
Более конкретно, точная последовательность когомологий
->• Я(c)Х; Z) -> Я1 (О*) ->¦ Нх{0*х) d^Cl H2(X-,Z) = Z, ассоциированная с
экспонентой
О -> Z ->Ох -> 1,
задает изоморфизм
Pic°(X) = H1(Ox)/H1(X;Z).
Теорема Римана-Роха. Мы уже несколько раз пользовались теоремой Римана-
Роха для доказательства некоторых результатов. Она содержит формулу для
размерности h°(D) комплексного векторного пространства
C{D) = {/!(/) +?>>0}, связанного с дивизором D степени d, а именно, h°(D)
- h°(К - D) =d-g+ 1,
где К, канонический дивизор, - дивизор голоморфной 1-формы на X.
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама