|
Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.ISBN 5-7029-0312-9 Скачать (прямая ссылка):  Касательное пространство к Jac(X) в каждой точке канонически изоморфно пространству #°(П^)*, которое, в свою очередь, в силу двойственности Серра, изоморфно Я^Ох), первой группе когомологий пучка Ох голоморфных функций на X (это можно описать как подсчет вычетов). Абелевы многообразия. Якобиан не является любым комплексным тором, т. е. решетка Л не является любой решеткой в Cg - она обладает специальными свойствами. Билинейные соотношения Римана показывают, что якобиан кривой можно вложить в качестве алгебраического подмногообразия в некоторое проективное пространство достаточно большой размерности. Это приводит к более общему понятию абелевых многообразий, комплексных торов, представляющих собой проективные многообразия. Мы отсылаем читателя к книгам Мам-форда [64], а также Ланге и Биркенеке [57]. Дивизоры и группа Пикара. Пусть Div(X) - свободная абелева группа, порожденная точками кривой А". Ее элементы, дивизоры, представляют собой формальные комбинации г?1 (I - конечное множество, Е Z, Р{ Е А). Например, мероморфная функция / на А задает дивизор (с учетом кратностей). То же самое верно для 1-форм. Группа Div(X) снабжена естественным морфизмом на Z, который называется степенью: Jac(X) = Я°(П^)*/Л. D = X!ш*-р* (J) = нули / - полюсы / Комплексные кривые, вещественные кривые и их якобианы 181 Дивизоры функций имеют степень 0, тогда как дивизоры форм имеют степень 2g - 2 (еще одно следствие теоремы Римана-Роха). Группа Div(X) достаточно большая и в ней нет особого смысла. Чтобы получить дополнительную важную информацию, рассмотрим отношение линейной эквивалентности D ~ Df 3 мероморфная функция /, такая что D - D' = (/). Факторгруппа по этому отношению называется группой Пикара Pic(X). Ее можно разбить на подмножества Picd(X), порожденные дивизорами степени tZ, причем Pic°(X) является подгруппой. Теорема Абеля-Якоби. Эта теорема утверждает, что интегральное отображение Div°(X) -> ^~2(Pj - Qj) I-> J coj Qj задает изоморфизм Pic°(X) -> Jac(X). Если дана произвольная точка Q из X, то этот изоморфизм порождает отображение и представление и этого изоморфизма X -> Jac(X) р ("-*/") Q (отображение Абеля-Якоби), которое является инъективным отображением, если q ^ 1, и изоморфизмом, если g = 1: с точностью до выбора произвольной точки Р кривые рода 1 суть группы (эллиптические кривые), изоморфные своим якобианам. Заметим, что и индуцирует изоморфизм и* :ЯДХ;г) -> ЯДJac(JO;Z) по определению Jac(X). 182 Приложение 4 Дивизоры с неотрицательными коэффициентами называются эффективными. Заметим, что эффективные дивизоры степени d представляют собой точки симметрического произведения x(d) = Xd/Sd. Естественное отображение ХЛ) -> Picd(X) является отображением "на" при d^g. При d = g - 1 его образ представляет собой гиперповерхность в Pics_1(X), которая называется 0-дивизором. Различные сдвиги этой гиперповерхности в компонентах групп Pic^(X) других степеней и, в частности, в Pic°(X), или Jac(X), также называются 0- дивизорами. Определение группы Пикара через линейные расслоения. На протяжении всей книги мы использовали отождествление между комплексными линейными расслоениями и дивизорами. Комплексное линейное расслоение на X можно определить при помощи голоморфных функций (функций перехода) /аф • Ua П Щ ---> С*, которые позволяют склеивать тривиальные расслоения на открытых множествах Ыа накрытия кривой X. Оно имеет глобальные мероморф-ные сечения (снова теорема Римана-Роха). Такое сечение s можно рассматривать как множество функций sa на Ыа, таких что на Ыа U Щ имеем: /а?д = sa/sp. Сечение s обладает дивизором (s), которое определяется как дивизор функции (нули - полюсы). Класс дивизора (s) в Pic(X), т. е. по модулю дивизоров функций, корректно определен и зависит только от класса изоморфизмов голоморфных расслоений. Заметим, что, в частности, степень (s) зависит только от расслоения; она является целым числом, которое есть также его первый класс Черна ci. Обратно, любой дивизор (степени d) задает голоморфное линейное расслоение (степени d). Тогда группу Пикара можно также отождествить с группой линейных расслоений (это есть фактически группа с Комплексные кривые, вещественные кривые и их якобианы 183 тензорным произведением линейных расслоений). Например, если s - сечение линейного расслоения L, то дивизор (c)=-<"> связан с двойственным линейным раслоением L*. Более конкретно, точная последовательность когомологий ->• Я(c)Х; Z) -> Я1 (О*) ->¦ Нх{0*х) d^Cl H2(X-,Z) = Z, ассоциированная с экспонентой О -> Z ->Ох -> 1, задает изоморфизм Pic°(X) = H1(Ox)/H1(X;Z). Теорема Римана-Роха. Мы уже несколько раз пользовались теоремой Римана- Роха для доказательства некоторых результатов. Она содержит формулу для размерности h°(D) комплексного векторного пространства C{D) = {/!(/) +?>>0}, связанного с дивизором D степени d, а именно, h°(D) - h°(К - D) =d-g+ 1, где К, канонический дивизор, - дивизор голоморфной 1-формы на X.
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
