Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 55

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 63 >> Следующая

а
(а)
S(j2aipi) =$>;?№)•
Pic°(X) -> Jac(X)
Комплексные кривые, вещественные кривые и их якобианы
187
Если X не содержит вещественных точек, то 17Го (Лас(Х)ц)| равно 1, если g
четно, и равно 2, если g нечетно.
Доказательство.
Мы уже объяснили, как снабдить комплексное векторное пространство
i?0(ft;^)* вещественной структурой. Согласно лемме 4.3.1, это
пространство изоморфно Cg с естественной вещественной структурой z |-У
~z. Единственное, что осталось сделать, - это описать решетку Л в Сё.
Следующую лемму мы оставляем в качестве упражнения.
Лемма 4.4.2. Пусть А - Т-модуль7 снабженный инволюцией S. Тогда
существует Ъ-базис (ад,... , ag,/3i,... , f3\, 7л+ъ * • * n-q) решетки Л?
в котором матрица инволюции S имеет вид
' И, Ыа 0 '
0 -IdA 0
0 0 - Idp ,
(где р - п - q - X).
В случае нашей решетки периодов, q должно быть равно g, так как Л
порождает как комплексное векторное пространство, поэтому (ад,... ,ад) -
базис в R^. Теперь можно рассмотреть комплексный тор С8'/Л и его
вещественную часть, т. е. образ множества точек v пространства Cs, таких
что v = v по модулю решетки Л. Если
"= XXiCii + X + X Zk^k-
то
v-v = Y, Узаз - 2 X УэРэ - 2 X ХЫЬ-
Следовательно, v - v Е Л тогда и только тогда, когда все yj являются
целыми, а все Zk - полуцелыми. Класс элемента v можно представить как
У]ад+ V пк
i= 1 k=\+l
188 Приложение 4
где Xi G [0,1[ и пи G {0,1}. Запишем т = g- А. Мы только что доказали,
что
(Cs'/A)r диффеоморфно (RA/Zg) х {0,1}т,
в частности, что (С^/Л)к имеет 2Ш связных компонент. Теперь мы должны
связать т или А (которые возникли из действия S на гомологиях X) с
вещественной частью X.
Здесь начинается топологическая часть доказательства. Рассмотрим
факторповерхность Y = Хс/S'. Это топологическая поверхность с границей
Xr, ориентируемой или нет, а ее эйлерова характеристика равна 1 - g.
Рассмотрим относительные гомологии пространств Y и Xr (предполагая, что
Xr ф 0). С топологической точки зрения число А равно размерности образа
отображения
Id+S : #i(X;Z/2) -> #i(X;Z/2).
Это то же самое, что образ естественного гомоморфизма
яцгда) ^tf!(y,XR;Z/2)
или ядро граничного гомоморфизма
д : Hi (У, XR; Z/2) -> ff0(XR;Z/2).
Так как д - отображение "на" и dimiZi(Y, X"r; Z/2) = dimH1 (У; Z/2) = g -
1, то мы окончательно получаем: А + dim#o(XR; Z/2) = g - 1, так что
dimifo (Xr; Z/2) = g - A - 1.
Аналогично, если X не содержит вещественных точек, то Y является
замкнутой неориентируемой поверхностью, а X - его ориентирующим
накрытием. Тогда точная последовательность Гизина дает желаемый
результат. ¦
Если Xr ф 0, пусть Х0,... , Хт - связные компоненты Xr. Предположим, что
т ^ 1 (Xr имеет по крайней мере две компоненты). Для каждого г ^ 1
выберем путь с[ в Y с началом в Xq, и концом в X*. Поднимем эти пути до
замкнутых кривых в X и ориентируем их так, чтобы получилось т циклов
Ci,... , ст в iZi(X;Z), таких что S*Ci = -с*.
Комплексные кривые, вещественные кривые и их якобианы 189
Тогда нетрудно заменить у* из леммы 4.4.2 на с* (которые с этих пор
мы будем обозначать через 7*).
Имеем сюрьективный групповой гомоморфизм
ф : Jac(X)R -> (Z/2)ra ^XiOti + 1-* (пА+ь • • • , ng) mod 2
со связным ядром и такой, что для любых Р, Q G Xr имеет место равенство
/
Ъ , 7* ,
о; = - + -у + вещественный член,
Q
если Р ? Xi, Q е Xj при условии, что 70 = 0.
Вещественная часть группы Пикара. Существует красивое описание
представления группы Pic°(X)R в виде объединения его связных компонент,
использующее связные компоненты Xr.
Предложение 4.4.3. Предположим, что Xr ф 0, и пусть Х0,..., Хт - его
связные компоненты. Тогда отображение
Xr -> (Z/2)m
ГО, если Р G Х0 ' ^ | (0,... , 1г,... , 0), если Р е
индуцирует сюрьективный групповой гомоморфизм Pic°(X)R-у (Z/2)m со
связным ядром.
Запись (0,... ,1*,... ,0) означает, что на г-м месте стоит 1. Это
предложение утверждает, что связные компоненты Pic°(X)R можно нумеровать
элементами группы (Z/2)m. Рассмотрим, например, случай вещественной
кривой с двумя вещественными компонентами (771 = 1). Согласно
предложению, есть две возможности для класса дивизора Р - Q (Р и Q -
вещественные точки): либо Р и Q лежат в одной и той же компоненте Xr,
либо нет.
190
Приложение 4
Доказательство.
Мы определили отображение Xr ->¦ (Z/2)m. Оно задает групповой гомоморфизм
Div°(X)R, -> (Z/2)m ,
который, очевидно, является отображением "на". Заметим, однако, что
Div°(X)R - это группа дивизоров степени 0, состоящих из отдельных
вещественных точек, и что мы a, priori не знаем, является ли естественное
отображение Div°(X)n, ->¦ Pic°(X)R отображением "на".
Композиция Div°(X) ->¦ Pic°(X) ->¦ Jac(X) представляет собой интегральный
морфизм. Предположим, что Р и Q - две вещественные точки Xr,
принадлежащие Xi и Xj соответственно. Пусть из - вещественная 1-форма.
Тогда, как мы уже заметили,
р
h
Q
Следовательно,
р
^(/) = (0,... , lj,0... , lj,0,... ,0) = <p(P-Q).
Q
Поэтому наша диаграмма коммутативна. Предложение доказано. ¦
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама