|
Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.ISBN 5-7029-0312-9 Скачать (прямая ссылка):  а (а) S(j2aipi) =$>;?№)• Pic°(X) -> Jac(X) Комплексные кривые, вещественные кривые и их якобианы 187 Если X не содержит вещественных точек, то 17Го (Лас(Х)ц)| равно 1, если g четно, и равно 2, если g нечетно. Доказательство. Мы уже объяснили, как снабдить комплексное векторное пространство i?0(ft;^)* вещественной структурой. Согласно лемме 4.3.1, это пространство изоморфно Cg с естественной вещественной структурой z |-У ~z. Единственное, что осталось сделать, - это описать решетку Л в Сё. Следующую лемму мы оставляем в качестве упражнения. Лемма 4.4.2. Пусть А - Т-модуль7 снабженный инволюцией S. Тогда существует Ъ-базис (ад,... , ag,/3i,... , f3\, 7л+ъ * • * n-q) решетки Л? в котором матрица инволюции S имеет вид ' И, Ыа 0 ' 0 -IdA 0 0 0 - Idp , (где р - п - q - X). В случае нашей решетки периодов, q должно быть равно g, так как Л порождает как комплексное векторное пространство, поэтому (ад,... ,ад) - базис в R^. Теперь можно рассмотреть комплексный тор С8'/Л и его вещественную часть, т. е. образ множества точек v пространства Cs, таких что v = v по модулю решетки Л. Если "= XXiCii + X + X Zk^k- то v-v = Y, Узаз - 2 X УэРэ - 2 X ХЫЬ- Следовательно, v - v Е Л тогда и только тогда, когда все yj являются целыми, а все Zk - полуцелыми. Класс элемента v можно представить как У]ад+ V пк i= 1 k=\+l 188 Приложение 4 где Xi G [0,1[ и пи G {0,1}. Запишем т = g- А. Мы только что доказали, что (Cs'/A)r диффеоморфно (RA/Zg) х {0,1}т, в частности, что (С^/Л)к имеет 2Ш связных компонент. Теперь мы должны связать т или А (которые возникли из действия S на гомологиях X) с вещественной частью X. Здесь начинается топологическая часть доказательства. Рассмотрим факторповерхность Y = Хс/S'. Это топологическая поверхность с границей Xr, ориентируемой или нет, а ее эйлерова характеристика равна 1 - g. Рассмотрим относительные гомологии пространств Y и Xr (предполагая, что Xr ф 0). С топологической точки зрения число А равно размерности образа отображения Id+S : #i(X;Z/2) -> #i(X;Z/2). Это то же самое, что образ естественного гомоморфизма яцгда) ^tf!(y,XR;Z/2) или ядро граничного гомоморфизма д : Hi (У, XR; Z/2) -> ff0(XR;Z/2). Так как д - отображение "на" и dimiZi(Y, X"r; Z/2) = dimH1 (У; Z/2) = g - 1, то мы окончательно получаем: А + dim#o(XR; Z/2) = g - 1, так что dimifo (Xr; Z/2) = g - A - 1. Аналогично, если X не содержит вещественных точек, то Y является замкнутой неориентируемой поверхностью, а X - его ориентирующим накрытием. Тогда точная последовательность Гизина дает желаемый результат. ¦ Если Xr ф 0, пусть Х0,... , Хт - связные компоненты Xr. Предположим, что т ^ 1 (Xr имеет по крайней мере две компоненты). Для каждого г ^ 1 выберем путь с[ в Y с началом в Xq, и концом в X*. Поднимем эти пути до замкнутых кривых в X и ориентируем их так, чтобы получилось т циклов Ci,... , ст в iZi(X;Z), таких что S*Ci = -с*. Комплексные кривые, вещественные кривые и их якобианы 189 Тогда нетрудно заменить у* из леммы 4.4.2 на с* (которые с этих пор мы будем обозначать через 7*). Имеем сюрьективный групповой гомоморфизм ф : Jac(X)R -> (Z/2)ra ^XiOti + 1-* (пА+ь • • • , ng) mod 2 со связным ядром и такой, что для любых Р, Q G Xr имеет место равенство / Ъ , 7* , о; = - + -у + вещественный член, Q если Р ? Xi, Q е Xj при условии, что 70 = 0. Вещественная часть группы Пикара. Существует красивое описание представления группы Pic°(X)R в виде объединения его связных компонент, использующее связные компоненты Xr. Предложение 4.4.3. Предположим, что Xr ф 0, и пусть Х0,..., Хт - его связные компоненты. Тогда отображение Xr -> (Z/2)m ГО, если Р G Х0 ' ^ | (0,... , 1г,... , 0), если Р е индуцирует сюрьективный групповой гомоморфизм Pic°(X)R-у (Z/2)m со связным ядром. Запись (0,... ,1*,... ,0) означает, что на г-м месте стоит 1. Это предложение утверждает, что связные компоненты Pic°(X)R можно нумеровать элементами группы (Z/2)m. Рассмотрим, например, случай вещественной кривой с двумя вещественными компонентами (771 = 1). Согласно предложению, есть две возможности для класса дивизора Р - Q (Р и Q - вещественные точки): либо Р и Q лежат в одной и той же компоненте Xr, либо нет. 190 Приложение 4 Доказательство. Мы определили отображение Xr ->¦ (Z/2)m. Оно задает групповой гомоморфизм Div°(X)R, -> (Z/2)m , который, очевидно, является отображением "на". Заметим, однако, что Div°(X)R - это группа дивизоров степени 0, состоящих из отдельных вещественных точек, и что мы a, priori не знаем, является ли естественное отображение Div°(X)n, ->¦ Pic°(X)R отображением "на". Композиция Div°(X) ->¦ Pic°(X) ->¦ Jac(X) представляет собой интегральный морфизм. Предположим, что Р и Q - две вещественные точки Xr, принадлежащие Xi и Xj соответственно. Пусть из - вещественная 1-форма. Тогда, как мы уже заметили, р h Q Следовательно, р ^(/) = (0,... , lj,0... , lj,0,... ,0) = <p(P-Q). Q Поэтому наша диаграмма коммутативна. Предложение доказано. ¦
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
