Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 57

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 .. 63 >> Следующая

не менее классическую книгу Жордана [46]), т. е. четность, двукратные
полюсы в точках решетки, периодичность и т. д., мы получаем графы на рис.
26.
гс
е5
d>(u+±ic)
Рис. 26. ^-функция Вейерштрасса
5. Многообразия Прима
5.1. Определение многообразий Прима
Рассмотрим кривую X, снабженную инволюцией т, и накрывающее отображение
тг : X -Y = Х/т. Это отображение индуцирует гомоморфизм
тг* : Pic(F) -> Pic(X),
который удваивает степени: достаточно рассмотреть прообраз дивизора.
Образ морфизма 7Г* содержится в множестве неподвижных точек т*.
Многообразия Прима
195
Это подгруппа Pic(X), поэтому, в частности, образ компоненты Pic0 (У)
степени 0 является абалевым подмногообразием в Pic°(X).
Согласно теореме Пуанкаре (которая легко доказывается), в этом случае
должно существовать "дополнительное" абелево подмногообразие. Оно
называется многообразием Прима этой инволюции и обозначается Ргут(т) или
Ргут(Х|У). Его можно определить либо как нейтральную компоненту группы
"антинеподвижных" точек инволюции т*, либо как образ отображения 1 - т*.
Используя двойственный подход, его можно также задать как фактор
векторного подпространства, сопряженного пространству голоморфных 1-форм,
антиинвариант-ных относительно т* (см. книгу Мамфорда [65]).
Как правило, авторы наибольшее внимание уделяют случаю, когда т не имеет
неподвижных точек. В этом случае накрывающее отображение 7г является
стандартным, а многообразие Прима представляет собой основным образом
поляризованное10 абелево многообразие. Здесь нас интересует случай, когда
т имеет неподвижные точки.
С такой ситуацией мы уже сталкивались в Главах III и IV, она достаточно
часто возникает при изучении интегрируемых систем с двумя степенями
свободы (кроме примеров, которые изучаются в настоящей книге, следует
упомянуть систему Хенона-Хейлеса в работе Герарди [34] и геодезические на
квадриках [11]). Это случай двулистного накрытия 7г : С Е, где Е - кривая
рода 1, в то время как С имеет род 3, так что соответствующая инволюция
кривой С имеет четыре неподвижные точки. Абелево многообразие Ргут(С\Е)
является поверхностью.
Следуя работе Хайне [39] по изучению четырехмерного свободного твердого
тела, Барс [17] провел достаточно полное исследование геометрии этих
абелевых поверхностей. Заметим, что поводом для такой "чисто алгебро-
геометрической" работы послужили проблемы из теории интегрируемых систем.
Мы рекомендуем читателю ознакомиться с этой замечательной статьей.
Барс показал (и мы будем этим пользоваться), что если абелева поверхность
А содержит кривую рода 3, скажем D, то инволюцию х -х
10Многообразие Прима также может быть основным образом поляризовано, если
другого выбора нет (когда оно одномерно). Это происходит тогда, когда X
имеет род 2, а г имеет две неподвижные точки. Мы сталкивались с такой
ситуацией (достаточно бегло) в III.3.2.
196
Приложение 5
на А можно ограничить до инволюции на D и, далее, что четыре ее
неподвижные точки фактически принадлежат D. Фактор кривой D по этой
инволюции есть кривая ? рода 1, а А - кривая, двойственная к Ргут(Т>|?).
Это в точности ситуация, изученная Хайне, с которой мы сталкивались в
IV.3.4. В этом случае мы имели две кривые С и D рода 3 и две кривые Е и ?
рода 1. Мы имели дело с отображением собственных векторов из некоторого
множества, которое оказалось открытым подмножеством многообразия
Prym(.D|?), со значениями в Prym(С\Е). Мы отмечали, что две
рассматриваемые абелевы поверхности двойственны друг другу. Сейчас мы
хотим показать, как этот результат можно вывести из теоремы Барса.
Единственное, что остается сделать, - это представить D как
подмногообразие Ргут({7|Е') с фактором ?.
5.2. Двойственность между двумя примианами
Предположим, что нам даны четыре различные точки а1,а2?аз?"4 в
пространстве Р1 и полином Р степени 2. Пусть 61,62)63,64 - четыре корня
полинома Р{п)2 ~ П (н ~ а*)* Предположим, что все 6* различны (это
условие на Р и на а*). Рассмотрим двулистное накрытие над Р1,
разветвленное в точках а*. Получаем кривую Е рода 1. Для простоты
воспользуемся уравнением w2 = П (р ~ а*)* Это означает, что сц ф оо для
всех i. Мы также можем построить кривую D, заданную уравнениями
/ = П ^ - а,;) '
\ v2 = -w - Р{п).
Имеем двулистное накрытие над кривой ?, разветвленное в точках с
координатами (/л, гг), такими что w = - Р(/х), т. е. (/л, w) = (6*, -
Р(6*)).
Здесь мы не можем удержаться от следующего замечания: поменяем щ и bi
местами. Тогда возникает другая кривая Е (z2 = P(/i)2 - - YI (/х - 04))
рода 1 и кривая (7, заданная уравнениями
Г z2 = Р(ц)2 - Д (ц - ai),
\у2 = -z-P(fi).
Кривая С представляет собой двулистное накрытие над Е, разветвленное в
точках (/х, z), таких что z = Р(/х), другими словами,
Многообразия Прима
197
(/х, z) = (а*, -Р(а*)). Сделаем дополнительное предположение, что старший
коэффициент полинома Р не равен 1, так что ни одно из Ь{ не обращается в
бесконечность. Тогда кривая Е имеет две точки над /х = оо, а С имеет
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама