|
Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.ISBN 5-7029-0312-9 Скачать (прямая ссылка):  не менее классическую книгу Жордана [46]), т. е. четность, двукратные полюсы в точках решетки, периодичность и т. д., мы получаем графы на рис. 26. гс е5 d>(u+±ic) Рис. 26. ^-функция Вейерштрасса 5. Многообразия Прима 5.1. Определение многообразий Прима Рассмотрим кривую X, снабженную инволюцией т, и накрывающее отображение тг : X -Y = Х/т. Это отображение индуцирует гомоморфизм тг* : Pic(F) -> Pic(X), который удваивает степени: достаточно рассмотреть прообраз дивизора. Образ морфизма 7Г* содержится в множестве неподвижных точек т*. Многообразия Прима 195 Это подгруппа Pic(X), поэтому, в частности, образ компоненты Pic0 (У) степени 0 является абалевым подмногообразием в Pic°(X). Согласно теореме Пуанкаре (которая легко доказывается), в этом случае должно существовать "дополнительное" абелево подмногообразие. Оно называется многообразием Прима этой инволюции и обозначается Ргут(т) или Ргут(Х|У). Его можно определить либо как нейтральную компоненту группы "антинеподвижных" точек инволюции т*, либо как образ отображения 1 - т*. Используя двойственный подход, его можно также задать как фактор векторного подпространства, сопряженного пространству голоморфных 1-форм, антиинвариант-ных относительно т* (см. книгу Мамфорда [65]). Как правило, авторы наибольшее внимание уделяют случаю, когда т не имеет неподвижных точек. В этом случае накрывающее отображение 7г является стандартным, а многообразие Прима представляет собой основным образом поляризованное10 абелево многообразие. Здесь нас интересует случай, когда т имеет неподвижные точки. С такой ситуацией мы уже сталкивались в Главах III и IV, она достаточно часто возникает при изучении интегрируемых систем с двумя степенями свободы (кроме примеров, которые изучаются в настоящей книге, следует упомянуть систему Хенона-Хейлеса в работе Герарди [34] и геодезические на квадриках [11]). Это случай двулистного накрытия 7г : С Е, где Е - кривая рода 1, в то время как С имеет род 3, так что соответствующая инволюция кривой С имеет четыре неподвижные точки. Абелево многообразие Ргут(С\Е) является поверхностью. Следуя работе Хайне [39] по изучению четырехмерного свободного твердого тела, Барс [17] провел достаточно полное исследование геометрии этих абелевых поверхностей. Заметим, что поводом для такой "чисто алгебро- геометрической" работы послужили проблемы из теории интегрируемых систем. Мы рекомендуем читателю ознакомиться с этой замечательной статьей. Барс показал (и мы будем этим пользоваться), что если абелева поверхность А содержит кривую рода 3, скажем D, то инволюцию х -х 10Многообразие Прима также может быть основным образом поляризовано, если другого выбора нет (когда оно одномерно). Это происходит тогда, когда X имеет род 2, а г имеет две неподвижные точки. Мы сталкивались с такой ситуацией (достаточно бегло) в III.3.2. 196 Приложение 5 на А можно ограничить до инволюции на D и, далее, что четыре ее неподвижные точки фактически принадлежат D. Фактор кривой D по этой инволюции есть кривая ? рода 1, а А - кривая, двойственная к Ргут(Т>|?). Это в точности ситуация, изученная Хайне, с которой мы сталкивались в IV.3.4. В этом случае мы имели две кривые С и D рода 3 и две кривые Е и ? рода 1. Мы имели дело с отображением собственных векторов из некоторого множества, которое оказалось открытым подмножеством многообразия Prym(.D|?), со значениями в Prym(С\Е). Мы отмечали, что две рассматриваемые абелевы поверхности двойственны друг другу. Сейчас мы хотим показать, как этот результат можно вывести из теоремы Барса. Единственное, что остается сделать, - это представить D как подмногообразие Ргут({7|Е') с фактором ?. 5.2. Двойственность между двумя примианами Предположим, что нам даны четыре различные точки а1,а2?аз?"4 в пространстве Р1 и полином Р степени 2. Пусть 61,62)63,64 - четыре корня полинома Р{п)2 ~ П (н ~ а*)* Предположим, что все 6* различны (это условие на Р и на а*). Рассмотрим двулистное накрытие над Р1, разветвленное в точках а*. Получаем кривую Е рода 1. Для простоты воспользуемся уравнением w2 = П (р ~ а*)* Это означает, что сц ф оо для всех i. Мы также можем построить кривую D, заданную уравнениями / = П ^ - а,;) ' \ v2 = -w - Р{п). Имеем двулистное накрытие над кривой ?, разветвленное в точках с координатами (/л, гг), такими что w = - Р(/х), т. е. (/л, w) = (6*, - Р(6*)). Здесь мы не можем удержаться от следующего замечания: поменяем щ и bi местами. Тогда возникает другая кривая Е (z2 = P(/i)2 - - YI (/х - 04)) рода 1 и кривая (7, заданная уравнениями Г z2 = Р(ц)2 - Д (ц - ai), \у2 = -z-P(fi). Кривая С представляет собой двулистное накрытие над Е, разветвленное в точках (/х, z), таких что z = Р(/х), другими словами, Многообразия Прима 197 (/х, z) = (а*, -Р(а*)). Сделаем дополнительное предположение, что старший коэффициент полинома Р не равен 1, так что ни одно из Ь{ не обращается в бесконечность. Тогда кривая Е имеет две точки над /х = оо, а С имеет
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
