Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 58

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 .. 63 >> Следующая

четыре точки. Пусть d- дивизор на бесконечности на С (т. е. дивизор
полюсов функции /х; он имеет степень 4).
Предложение 5.2.1. Симметрическая степень С^ содержит вложенную копию
кривой D.
Замечание. Поскольку С и D симметричны между собой, то верно аналогичное
утверждение, в котором эти кривые меняются местами.
Доказательство.
Построим отображение
D ->• С{2)
(ц, v, w) I-> (/х, 2/1, -Р(/х) - 2/1) + (/X, 2/2, -P(ti) - 2/2)-
Здесь /х одно и то же в обеих частях соответствия, а значения у\ и у2 -
два корня полинома у2 - vy/2y - га: мы рассматриваем две точки (/х, у) на
С, которые удовлетворяют уравнению
(Р(/х) + у2)2 = Z2 = Р(ц)2 - W2.
Тогда у4 + 2у2Р(р) + га2 = 0. Однако поскольку Р(/х) = -v2 - гг, то
уравнение можно записать в виде
у4 - 2у2 {у2 + гг2) + гг2 = 0,
т. е.
(:У2 -w)2 - 22J2v2 = о,
другими словами,
у2 - vV2у - гг^ ^у2 + vy/2у - гг^ =0.
Итак, если мы знаем v и гг, то мы можем выбрать из четырех значений у
два, которые лежат над /х.
198 Приложение 5
Очевидно, что отображение инъективно: yi и у2 определяют 2/1 + У2
v= ------- и W = -2/12/2-
л/2
Нам осталось доказать, что кривая D вложена. Этот факт можно вывести из
последующих результатов. ¦
Отобразим симметрическое произведение в Pic2(С). Как отмечалось в
Приложении 4, образом является гиперповерхность W2j так называемый
канонический &-дивизор. Рассмотрев композицию, получаем отображение D ->
Pic2 (С).
Предложение 5.2.2. Образ кривой D содержится в подмногообразии
лтогообразия Pic2((7)? параллельном Prym((7|P).
Доказательство.
Абелева поверхность Ргут((7|?7), определяемая как нейтральная компонента
антинеподвижных точек инволюции г : (/х, х/, z)i-"(/x, - у, z), является
подмногообразием Pic0 ((7). Рассмотрим Pic2 (С) как однородное
пространство относительно действия группы Pic0(С). Подмногообразие из
условия теоремы и параллельное Ртут(С\Е) представляет собой компоненту А0
многообразия
А = {d G Pic2((7) | r(d) = doo-d} ,
которая содержит кривую D. Действительно, рассмотрим точку (/хо,v,w)
кривой И и ее образ d. Получаем класс дивизора
d = (Мо, 2/1, ^i) + (iM)jV2,z2),
где
r(d) = (iM)i-yhz[) + (/х0, ~y2,z'2).
Четыре искомые точки - это четыре точки кривой D над /хо Е Р1. Благодаря
функции /х - /хо имеем
d+ r(d) ^ doo
Многообразия Прима
199
Образ кривой D лежит в пересечении ТТ2 и Aq. Мы имеем отображение из
кривой D рода 3 в абелеву поверхность А0. Благодаря формуле
присоединения, мы знаем, что кривая D вложена. Рассмотрим инволюцию Л0,
действующую на D: на Prym(Cr|?') имеем -х = т(х). Следовательно,
инволюции х I-> -х степени 2 в ограничении на Л0 соответствует инволюция
т. Однако если у\ и у2 - корни полинома у2 - v\/2у - гг, то -у\ и - у2 -
корни полинома у2 + ьл/2у - w. Следовательно, r{d) - образ точки (/г, -
г?,гг) кривой Л, а фактор по этой инволюции есть Е. Окончательно, с
помощью теоремы Барса мы доказали
Предложение 5.2.3. Абелевы поверхности Prym(Cr|?') и Ргут(Л|?)
двойственны друг другу.
5.3. Если реализуется кривая рода 2
Снова рассмотрим случай двулистного накрытия кривой С рода 3 над кривой Е
рода 1, однако теперь четыре точки ветвления накрытия С -^ Е суть две
пары точек, которые меняются местами при инволюции кривой Е. Покажем, что
тогда можно построить кривую рода 2, якобиан которой очень похож на
Ргут(С\Е).
Кривая Е представляет собой двулистное накрытие над Р1, разветвленное в
четырех точках ад, ж2, ж3, ?*4. Существуют также две точки yi и г/2,
которые являются образами в Р1 двух пар точек ветвления накрытия С -)• Е.
Таким образом, мы выделили шесть точек в Р1 и хотим рассмореть двулистное
накрытие X над Р1, разветвленное в этих шести точках, тогда X является
кривой рода 2.
Предложение 5.3.1. Кривая С является нормализацией послойного
произведения над Р1 кривых Е и X. В частности, она представляет собой
стандартное двулистное накрытие над X. Абелева поверхность Pvym(C\E)
является фактором Pic°(X) по подгруппе второго порядка, порожденной
классом дивизора yi - у2.
В этом утверждении очевидно, обозначает единственную точку кривой X,
лежащую над С Р1.
200
Приложение 5
Замечание.
1) В этом случае тот факт, что многообразие Ртут(С\Е) должно иметь
поляризацию типа (1,2), очевиден (даже для тех, кто не знает в точности,
что это означает).
2) Обратно, если дана кривая X рода 2, то легко построить кривые С и Е,
такие что якобиан кривой X имеет такой же род, что и Ртут(С\Е): можно
представить X как двулистное накрытие над Р1, разветвленное в шести
точках (напомним, что все кривые рода 2 являются гиперэллиптическими,
см., например, работу Фаркаша и Кра [27]) и разделить множество из шести
точек на два подмножества по четыре и две точки соответственно.
Доказательство.
Пусть Со - послойное произведение над Р1 кривых Е и X:
С0 = {(е,х) € Е х X \ р(е) = q(x)}.
Кривая Со имеет особенности над общими точками ветвления отображений р и
д, т. е. над х%. В любой из этих точек она фактически имеет обычную
двукратную точку, как видно из уравнений, и, таким образом, имеет две
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама