|
Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.ISBN 5-7029-0312-9 Скачать (прямая ссылка):  четыре точки. Пусть d- дивизор на бесконечности на С (т. е. дивизор полюсов функции /х; он имеет степень 4). Предложение 5.2.1. Симметрическая степень С^ содержит вложенную копию кривой D. Замечание. Поскольку С и D симметричны между собой, то верно аналогичное утверждение, в котором эти кривые меняются местами. Доказательство. Построим отображение D ->• С{2) (ц, v, w) I-> (/х, 2/1, -Р(/х) - 2/1) + (/X, 2/2, -P(ti) - 2/2)- Здесь /х одно и то же в обеих частях соответствия, а значения у\ и у2 - два корня полинома у2 - vy/2y - га: мы рассматриваем две точки (/х, у) на С, которые удовлетворяют уравнению (Р(/х) + у2)2 = Z2 = Р(ц)2 - W2. Тогда у4 + 2у2Р(р) + га2 = 0. Однако поскольку Р(/х) = -v2 - гг, то уравнение можно записать в виде у4 - 2у2 {у2 + гг2) + гг2 = 0, т. е. (:У2 -w)2 - 22J2v2 = о, другими словами, у2 - vV2у - гг^ ^у2 + vy/2у - гг^ =0. Итак, если мы знаем v и гг, то мы можем выбрать из четырех значений у два, которые лежат над /х. 198 Приложение 5 Очевидно, что отображение инъективно: yi и у2 определяют 2/1 + У2 v= ------- и W = -2/12/2- л/2 Нам осталось доказать, что кривая D вложена. Этот факт можно вывести из последующих результатов. ¦ Отобразим симметрическое произведение в Pic2(С). Как отмечалось в Приложении 4, образом является гиперповерхность W2j так называемый канонический &-дивизор. Рассмотрев композицию, получаем отображение D -> Pic2 (С). Предложение 5.2.2. Образ кривой D содержится в подмногообразии лтогообразия Pic2((7)? параллельном Prym((7|P). Доказательство. Абелева поверхность Ргут((7|?7), определяемая как нейтральная компонента антинеподвижных точек инволюции г : (/х, х/, z)i-"(/x, - у, z), является подмногообразием Pic0 ((7). Рассмотрим Pic2 (С) как однородное пространство относительно действия группы Pic0(С). Подмногообразие из условия теоремы и параллельное Ртут(С\Е) представляет собой компоненту А0 многообразия А = {d G Pic2((7) | r(d) = doo-d} , которая содержит кривую D. Действительно, рассмотрим точку (/хо,v,w) кривой И и ее образ d. Получаем класс дивизора d = (Мо, 2/1, ^i) + (iM)jV2,z2), где r(d) = (iM)i-yhz[) + (/х0, ~y2,z'2). Четыре искомые точки - это четыре точки кривой D над /хо Е Р1. Благодаря функции /х - /хо имеем d+ r(d) ^ doo Многообразия Прима 199 Образ кривой D лежит в пересечении ТТ2 и Aq. Мы имеем отображение из кривой D рода 3 в абелеву поверхность А0. Благодаря формуле присоединения, мы знаем, что кривая D вложена. Рассмотрим инволюцию Л0, действующую на D: на Prym(Cr|?') имеем -х = т(х). Следовательно, инволюции х I-> -х степени 2 в ограничении на Л0 соответствует инволюция т. Однако если у\ и у2 - корни полинома у2 - v\/2у - гг, то -у\ и - у2 - корни полинома у2 + ьл/2у - w. Следовательно, r{d) - образ точки (/г, - г?,гг) кривой Л, а фактор по этой инволюции есть Е. Окончательно, с помощью теоремы Барса мы доказали Предложение 5.2.3. Абелевы поверхности Prym(Cr|?') и Ргут(Л|?) двойственны друг другу. 5.3. Если реализуется кривая рода 2 Снова рассмотрим случай двулистного накрытия кривой С рода 3 над кривой Е рода 1, однако теперь четыре точки ветвления накрытия С -^ Е суть две пары точек, которые меняются местами при инволюции кривой Е. Покажем, что тогда можно построить кривую рода 2, якобиан которой очень похож на Ргут(С\Е). Кривая Е представляет собой двулистное накрытие над Р1, разветвленное в четырех точках ад, ж2, ж3, ?*4. Существуют также две точки yi и г/2, которые являются образами в Р1 двух пар точек ветвления накрытия С -)• Е. Таким образом, мы выделили шесть точек в Р1 и хотим рассмореть двулистное накрытие X над Р1, разветвленное в этих шести точках, тогда X является кривой рода 2. Предложение 5.3.1. Кривая С является нормализацией послойного произведения над Р1 кривых Е и X. В частности, она представляет собой стандартное двулистное накрытие над X. Абелева поверхность Pvym(C\E) является фактором Pic°(X) по подгруппе второго порядка, порожденной классом дивизора yi - у2. В этом утверждении очевидно, обозначает единственную точку кривой X, лежащую над С Р1. 200 Приложение 5 Замечание. 1) В этом случае тот факт, что многообразие Ртут(С\Е) должно иметь поляризацию типа (1,2), очевиден (даже для тех, кто не знает в точности, что это означает). 2) Обратно, если дана кривая X рода 2, то легко построить кривые С и Е, такие что якобиан кривой X имеет такой же род, что и Ртут(С\Е): можно представить X как двулистное накрытие над Р1, разветвленное в шести точках (напомним, что все кривые рода 2 являются гиперэллиптическими, см., например, работу Фаркаша и Кра [27]) и разделить множество из шести точек на два подмножества по четыре и две точки соответственно. Доказательство. Пусть Со - послойное произведение над Р1 кривых Е и X: С0 = {(е,х) € Е х X \ р(е) = q(x)}. Кривая Со имеет особенности над общими точками ветвления отображений р и д, т. е. над х%. В любой из этих точек она фактически имеет обычную двукратную точку, как видно из уравнений, и, таким образом, имеет две
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
