Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 6

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 63 >> Следующая

Например, дифференциальное уравнение
bi 1 х3\
Xi Ъ2 1
Л-1 Х2 Ьз
h 1 *зА \ / о 0 х3\
Xi ь2 1 ь , (r)i 0 0
л-1 х2 Ьз ) V о х2 0
является системой двадцати семи уравнений (количество коэффициентов при
А-1, 1, А в каждом элементе) относительно шести неизвестных функций. Это
уравнение эквивалентно следующей системе:
Xi = х1 (Ь2 - bi), ( Ь± = xi - ж3,
х2 = (Ьз - Ь2), < Ь2 =х2- xlj
х3 = (&1 - &3), [ Ь% = хг - х2.
3.1. Алгебро-геометрический подход
У неискушенного читателя может возникнуть вопрос, зачем все так усложнять
(например, вводя спектральный параметр) и как привести дифференциальное
уравнение к такому виду. Здесь мы не будем обсуждать последний вопрос,
однако попытаемся объяснить, что нам дает представление Лакса и
спектральный параметр.
Большое количество первых интегралов. Любое уравнение Лакса a priori
имеет много первых интегралов: поскольку матрица А остается в том же
классе сопряженности, то ее собственные значения являются "постоянными
движения". Другими словами, коэффициенты характеристического полинома
матрицы А являются первыми интегралами.
18
Введение
Кривая. Если в матрице А присутствует спектральный параметр, то
характеристический полином является полиномом от двух переменных:
Р(Л, //) = det (А\ - (1 Id).
Полином от двух переменных как раз и задает алгебраическую кривую.
Комплексная кривая (7, которая определяется уравнением
Р(А,//) = 0,
называется спектральной кривой: она описывает собственные значения,
спектр матриц А\. Коэффициенты в уравнении кривой С являются первыми
интегралами. Поэтому в действительности мы имеем много спектральных
кривых: свою для каждого набора значений первых интегралов (другими
словами, уравнение Р(\,р) = 0 описывает семейство кривых). Можно (даже
следует) пронумеровать каждую кривую набором значений первых интегралов,
которому она соответствует. Поскольку спектральная кривая соответствует
совместной поверхности уровня первых интегралов, то можно также
нумеровать поверхности уровня кривыми: будем иногда использовать
обозначение Тс для поверхности уровня (в пространстве матриц), которая
соответствует кривой С.
Центральная фигура. Зафиксируем кривую С из этого семейства и
предположим, что для некоторого значения спектрального параметра Л
матрица А\ имеет простой спектр. Для любого собственного значения //
матрицы А\ (т. е. для любого //, такого что (Л, //) Е С) мы имеем прямую
в пространстве С^, на которой действует наша матрица: одномерное
подпространство А\, отвечающее значению //. Пусть теперь Л меняется.
Собирая вместе все эти прямые, мы получаем комплексный пучок на кривой
(7, расслоение собственных векторов. Слой этого расслоения в точке (Л,
//) представляет собой собственное подпространство9 матрицы А\, которое
отвечает //.
9Всегда существуют значения параметра Л, для которых спектр А\ не
является простым. Однако пучок комплексных прямых определен корректно, по
крайней мере в том случае, когда кривая С гладкая (см. Приложение 3).
Введение
19
Если теперь А\ меняется в пределах совместной поверхности уровня 7с? то
мы можем рассмотреть все эти расслоения вместе с отображением
со значениями в группе Пикара пучков (алгебраических) комплексных прямых
над С (см. Приложение 4). Это отображение, отображение собственных
векторов, будет одновременно и главным инструментом, и центральной
фигурой в тексте.
Замечание. Напомним, что любая компонента многообразия Пикара является
комплексным тором, который имеет свою собственную (каноническую) аффинную
структуру. При этом линеаризация потоков на многообразии Pic((7) дает
переменные угол. Более точно, если t \-> A\(t) является решением
уравнения Лакса, то можно рассмотреть образы этих кривых t I-" (р
(A\(t)). Утверждение, что они являются прямыми с линейной
параметризацией, уже не тавтологично, поскольку аффинная структура здесь
определена без участия искомого векторного поля.
Следует подчеркнуть, что первые интегралы, кривая и отображение
собственных векторов не зависят от матрицы В\. Это и неудивительно: в
случае интегрируемой системы (#1,... ,Нп) разным функциям из алгебры,
порожденной (Hi,... ,Нп), соответствуют различные В\. Наши алгебраические
данные описывают поверхности уровня в целом, а не частные потоки на них.
3.2. Случай интегрируемой системы
Все вышеизложенное можно с успехом применить к любому уравнению Лакса,
однако нас больше всего интересуют интегрируемые системы. Несмотря на то,
что уравнения Лакса всегда имеют много первых интегралов, эти интегралы
не обязаны коммутировать (мы даже не имеем пуассоновой структуры, чтобы
придать этому смысл) и, конечно, количество первых интегралов может быть
все-таки недостаточным. На самом деле имеется аппарат для построения
уравнений Лакса, которые являются интегрируемыми системами: это так
называемая теорема Адлера-Костанта-Симса (см. Приложение 2). Здесь мы
20
Введение
будем предполагать, что рассматриваемое уравнение Лакса является
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама