Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Оден М. -> "Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем" -> 7

Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем - Оден М.

Оден М. Вращающиеся волчки: курс интегрируемых систем — И.: Удмуртский университет , 1999. — 215 c.
ISBN 5-7029-0312-9
Скачать (прямая ссылка): vrashaushiesyavolchki1998.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 63 >> Следующая

интегрируемой системой. Для простоты мы также будем считать, что потоки
полны. В этом случае поверхность уровня Тс есть однородное10 пространство
по отношению к действию некоторого Rn; эта поверхность, кроме того,
описывается полиномиальными уравнениями. Комп-лексифицированная
поверхность уровня Tq (комплексное решение тех же полиномиальных
уравнений) является открытым подмножеством комплексного тора.
Немного помечтаем. Быть может, отображение собственных векторов (рс
поможет ответить на все вопросы, которые возникли в 2.2. Если бы система
дифференциальных уравнений была вещественной, то отображение рс сохраняло
бы все вещественные структуры и отображало бы Тс (вещественную часть Tq)
в вещественную часть Pic(C), которая достаточно просто описывается.
Спустимся на землю. Отображение собственных векторов рс почти никогда не
является изоморфизмом.
1) Могут не совпадать размерности. Во-первых, многообразия Tq и Pic(C)
не обязаны иметь одинаковую размерность. В случае твердого тела dim Тс =
2, а многообразие Пикара имеет размерность 1 для симметричного волчка
Лагранжа и размерность 5 для волчка Ковалевской. Заметим, что если дана
интегрируемая система, то dim Тс известна с самого начала: она равна
половине размерности симплектического (фазового) многообразия, что
называется в физике числом степеней свободы. Напротив, dimPic((7) - это
род спектральной кривой (см. Приложение 4). Эта размерность связана со
степенью элементов матриц А\ по А, а также с размером N матриц: она
зависит от лаксовой формы, которую мы используем. Однако может случиться,
что размерности совпадают, как, например, в случае геодезических на
эллипсоиде, в задаче Неймана11 и периодической цепочке Тода, а также для
"трехмерного свободного твердого тела", системы с од-
10Неявно предполагается, что матрицы А\ и Вд - вещественны, хотя они и
действуют на комплексном векторном пространстве С^.
11 См. работы Мозера [63], Кноррера [52] и автора [11, 13].
Введение
21
ной степенью свободы, с рассмотрения которой мы начинаем эту книгу.
2) Проблема компактности. Отображение рс не может быть комплексным
изоморфизмом, просто потому, что Tq задается полиномиальными уравнениями
в линейном пространстве и является аффинным алгебраическим многообразием,
в то время как компоненты Pic(C) суть (компактные) торы. Даже если
размерности совпадают, то отображение рс в лучшем случае отображает
на открытое подмножество Pic(C).
3) Вещественная часть. Предположим, что один из первых интегралов
собственный, так что вещественная поверхность уровня Тс компактна. В
общем случае, вещественная часть Pic(C) пересекает указанные выше
гиперповерхности, поэтому даже ограничение рс на вещественную часть не
может быть изоморфно своему образу.
Довольно часто встречается ситуация, когда dimTc ^ dimPic(C'), а рс
является конечнолистным накрытием открытого подмножества абелева
подмногообразия Pic(C). В случае двух степеней свободы, как правило, мы
имеем спектральную кривую рода 3, снабженную инволюцией т с четырьмя
неподвижными точками. При этом из некоторых соображений известно, что рс
принимает значения в "антинеподвижных" точках инволюции т, которые
образуют абелево многообразие Ргут(т) (см. Приложение 5).
3.3. Что, однако, можно сделать
Регулярные поверхности уровня и линеаризация. На вопросы 1 и 5, которые
были сформулированы в 2.2, в этих рамках существуют естественные ответы.
Можно исследовать в наибольшей общности (т. е. для уравнения Лакса без
каких-либо дополнительных предположений об интегрируемости) вопрос о
линеаризации потока отображением рс- Почти во всех случаях, которые мы
будем рассматривать, матрица В\, возникающая в уравнении Лакса, имеет
специальный вид, так что отображение собственных векторов автоматически
22
Введение
линеаризует решения уравнения Лакса (см. работы Гриффитса [36] и Реймана
[74], а также Приложение 3). Эти теоремы о линеаризации являются простыми
следствиями введения касательного отображения к отображению ipc- С
помощью касательного отображения часто удается доказать утверждение типа
"если С гладкая, то соответствующая поверхность уровня регулярна".
Заметим, что ничто не мешает спектральной кривой быть особой для всех
значений первых интегралов (естественный пример будет приведен в
III.3.2).
Торы Лиувилля и их перестройки. Предположим, что один из первых
интегралов является собственным (это верно для полной энергии в случае
волчков), поэтому поверхности уровня компактны, а потоки полны. Обсудим
вопросы 3 и 4 из 2.2. Тот факт, что (рс накрывает свой образ, не
позволяет использовать его непосредственно для нумерации торов Лиувилля.
Тем не менее, часто его можно модифицировать, чтобы отождествить
поверхности уровня с вещественными частями абелева многообразия. Однако в
некоторых ситуациях мы должны искать другой подход. Как отмечалось,
вещественную часть якобиана легко исследовать, если хорошо изучена
вещественная структура самой кривой (см. Приложение 4). Несколько более
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 63 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама