|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  случае,' когда f € АР(Q), для некоторого п. Далее, пусть tot, <u2 - фиксированные положительные частоты, несоизмеримые между собой, т.е. /ш^~ иррациональное число. Рассмотрим алгебру АР(ш1,ш2У всех почти периодических функций на прямой, для которых группа частот Л</)с Zo)j + Zco2 - + п2оу2 * ni,n2eZj. Другими словами, алгебра AP(a>j,<o2) состоит в точности . из всех непрерывных периодических функций от двух линейных форм 29 1^(х) = CdjX и l2(x)-t02x. Банахова алгебра ЛР(cuj,cd2) изометрически * - изоморфна алгебре С(Т$) всех непрерывных функций на торе Т*~Т*Т. Гомоморфизм вложения прямой R в пространство максимальных идеалов алгебры АР которое мы отождествляем с Т2, задается формулой u<x) = (e2ni(i3ix, e2niu'2*)€ т2 (xeR), т.е. # есть "обмотка" тора прямой Л. Так как co^/cog - иррациональное число, гомоморфизм об: К-" Т2 инъективен, т.е. есть настоящее вложение, и "6<R)SBT?. Здесь плотность &<К) в Т2 следует из теоремы Кронеке-ра. Действительно, так как и^/о^ иррационально* то для любых вещественных чисел 0j, и любого 8 > 0 существует зсеК, такое, что I COjSC - Sj - nt J < 8 f j 032X - 02 - л 2 I < 5" для некоторых целых чисел Но тогда получаем, что | е 2лшгх j e2niu)2x_ е2 %i 02 j e | _ j | ^ где ЫЛь\ Теперь рассмотрим аликвотные части фиксированных частот <Oj и Ш2 и образуем алгебру АЛ1^г"ЛР(-^, ^|-) <прп2- положительные целые числа), которая состоит из всех почти периодических функций ?% для которых группа частот Л<^)с2-ь + %Щ. Ясно, что пространство максимальных идеалов Мп^пг алгебры ЛПьПг можно отождествить с тором T2*Tjj л ,а алгебру -АЛ1|7?2 реализовать как алгебру С всех непре- рывных функций на торе. Если щ\Пх и УП2|Л2, то алгебра Лщ т2 есть подалгебра для и можно определить оператор проектирования Р<т1,тг),<п{,лг): Лпипг *" Amvm2 • В самом деле, если f € Ащ9П2, то существует непрерывная периодическая функция g от двух переменных, такая, что $0 f<*>=g(%i*. %*) (xeR). Тогда где n2^it2m2' Кроме того, вложение Ащг1П Q. Ап п индуцирует непрерывное отображение ' * <Р(1н1,ж2),(л1,л2) : " Mmt,m2 для пространств максимальных идеалов: ?<m"M8MaI>n8)<zI* z2> " <*}*> z2*>"zuz2)eT*). Легко убедиться в том, что системы операторов Р(т^.2\(щп2) И отображений <ф(т1,тг),(п1,пг) сорласованы в том смысле, что ^<*иЛг),(тьт2) ° P(ttvk2),<nvn2)' ° ^{п1,тг),(п1,п2)гж^(к1,к2),(п1,пг), как только т{\п{ (i*> 1,2), Наконец, рассмотрим банахову алгебру В (""",) оостоящую из всех почти периодических функций f на . прямой, для которых группы частот A</)cQaJj + О и>2. Пространство максимальных идеалов алгебрн В (io^gDj) можно отождествить с проективным пределом -Xajj.toj Т0Р0В ^nvn2 относительно согласованной системы отображений а ал_ гебра B<a3j,oi2) изометрически "-изоморфна* алгебре всех непрерывных комплекснозначных функций на компактном ха-усдорфовом пространстве 31 Для каждой пары (nvn2) положительных целых чисел рассмотрим вложение &пьпг : ПРШ0Й Я в прост- ранство максимальных идеалов Мп^пг~ Т^ Пг алгебры Л"1>Рг ; 4х) <x€R). Тогда %М2^(т11И2)|(п1(лг)'Чпг- как только •иг-1]л1 и т21. Следовательно, для любого х ? Л двойная последовательность <&<X)*s(ainl,n2(x)) является точкой проективного предела ХШ^^Ш2,т.е. гомоморфизм a: ^~*"-^w,t(o2 есть проективный предел системы гомоморфизмов иЯрП2: R -*¦ ->Т^1>Л2 ( л1, п2 =* 1, 2,...). Гомоморфизму является непре- рнвным'вложением R в X которого "(R) вХщ,ц)2> при этом для любой функции^/ € -S^cOj, <*>2> имеем j(x)*f(G6(X)) для каждого х € К, где / - преобразование Гельфанда (в алгебре В(шг,М2)) для фикции f. Теорема 4. Пусть - положительные частоты, для которых и)^/и>2 иррационально. Тогда пространство максимальных идеалов алгебры В всех почти периодических функций на прямой, спектр которых состоит из частот вида + + г2 а>2 r2cO ), есть проективный предел двумерных торов относительно системы отображений ^(п^,т2),<п^,Л2У 3 результате получаем, что непрерывная комплекснозначная функция f не прямой является почти периодической функцией из алгебры 3{o>it<02) тогда и только тогда, когда она допускает непрерывное продолжение на X в том смнсле, что существует непрерывная функция g на такая, что f(x) = = g<u(x)) для всех хеЯ, где <в: К - X<ог,и>2- построенное вше вложение прямой R в проективный предел ^. Кроме того, для f е 3<aiv a)2i ряд Бора - Фурье можно записать в следующем видег /'"-Е сГ(,Ггег^">+^№, we 32 ч" +22 -<"-" "а.? V V V 2"f(-jp* + ^T*)* + 2- 2- L ch,hie 1 2 • *j*Z *2?Z V л2 <V*P=1 (%яР)"1 Алгебра содержит замкнутую подалгебру j8<o)j). Рассмотрим оператор проектирования Р: Л^со^о^) По крайней мере формально оператор Р функции Je ikoo^a^) с коэффициентами Бора - Фурье Т < Г , -2*i<r.os.+ г'7ш9ух , Ч<-г',Ьт гг 1 -f<x)e 1 * !*->+"> оопоставляет функцию ^*P/€j5(o>j) с коэффициентами Бора -Фурье аГ = сг0 (геО), т.е. V V 2л? g<*) ~ аф + > A e ' 5-1 *"2 я Однако из этого определения оператора Р прямо не следует его непрерывность, поэтому рассмотрим другие способы задания проектора Р.
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
