|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  самым Zj" ± 1. Так как (-1 )"2= <-1 )и для любого пе Z, ядро гомоморфизма j> еоть в точности подгруппа тора Т\ состоящая из двух элементов (1,1) и <-!,-!). В результате подучаем, что X2<Z)-T2/{±<l,i)} . 3) Пусть б = Т. Тогда группа характеров Г"* Z. Пусть f: Т-" Z - непрерывный симметричный гомоморфизм, ассоциированный с характером второй степени /. Тогда из непрерывности а следует, что о есть постоянная функция ка Т. Но ?<1)**0, поэтому p(z)=0 для любого zeT. В результате XjCTXVfdV . Z, i.e. на Т не существует характеров второй степени, отличных от плоских волн. Фиксируем некоторое АеИ. На функциях., заданных на прямой R, определим операцию "сдвига" на элемент I в К : {Aif)<x)"f<x+ 1)е~шкхг <хе R). Пусть fj, f2 € R. Из определения оператора Дц для любой функции f имеем ( A%i / >(ас) " /<*+ )еш*х11 *g<x), 45 ¦ (Ai2g)<x)"g(x+l2)e 2lti*xh m *f(x+?j + ?2) e~2*ijc<* * *">*! ftnikxl2 m - /^+fj+f2)e'2xiA*^i+* Далее, рассмотрим характер второй степени на J? : /*<*)- в*1**2 (ar е R). Так как для оператор Af получаем соотношение шФлЛ<А^нх'' ШЬ)(М'^)<Х)' поэтому для отображения 1-Щ • 1- Aj выполняется групповое овойотво Теперь рассмотрим произвольный характер второй степени на F ; Здесь снова справедливо равенство /*,*' *!* **) * /*,* * е 2*О*1*2 , поэтому для операторов fk x(l) Af имеет ж ото групповое овойотво LfyJc.А) • Uj^Jc.A) - Uft+ii(k,X). Из определения операторов ЦОс,&) прямим вычислен! легко получить следуюпие простые правила действия Uf(k>iI на отдельные волны Френеля: 4Г - Л*" Ц#"*>/мгв2я<<АгА),/м*" Понятие почти периодической функции на прямой теперь до-иуокает следующее обобщение, связанное с заменой групп" всевозможных сдвигов /(")-*•/(# + ?) на группу преобразований ЩКА) (la R). * Фиксируем пару вещественных чисел (к,Я). Пусть f - непрерывная ограниченная функция на R. Рассмотрим семейство всевозможных сдвигов Щ(к,Х)/ <??К), Пусть У обозначает его замыкание в пространстве Е всех непрерывных ограниченных функций на прямой в топологии равномерной сходимости. Функцию / будем называть (к,Я) - почти периодической функцией на прямой, если множество F компактно. Например, если / то Д*01 каждого ?eR имеем поэтому множество F состоит из одной функция f и тем самим является компактным множеством. В результате волна Френеля Л,А есть (Л,Д/)-почта периодическая функция. Полезно заметить, что в случае к ^ О функция % не является равномерно-непрерывной функцией на прямой. * . Более общо, пусть /-Л, Тогда поэтому всевозможные обобщенные сдвиги функции f содержатся в одномерном подпространстве, натянутом на функцию /, при отом собственные числа операторов Щ(к,Х) принадле- жат окружности Т - компактному подмножеству комплексной плоскости. Отсюда вытекает компактнооть множества F. Таким образом, для любого A'eR волка Френеля Sjc, X есть (к,ХУ~ почтк периодическая функция на R. Отметим, что в случае >*А"0 и (Uf<k,A)fUx}~ обычный сдвиг, поэтому класс (0,0) -почти периодических функций совпадает с классом всех почти периодических функций Бора на R. 47' пусть f - fjr,A)-no4Ta периодическая' функция. Тогда для любого е>0 множество F имеет конечную е-сеть, т.е. суще ствует конечный набор вещественных чисел slf s2>.... sn, такой, что для каждого ieR найдется по крайней мере один элемент $j из этого набора, для которого при всех зееК выполняется неравенство | Uf{Jc,X)f(ж) - Us.<k,A)f<x)\ < ?. Кроме того, из непрерывности функций ^2/.-> ^snf следует, что для некоторого > 0 имеем \u8if<x> - uSifm\ <t как только J зс| < 5L а из непрерывности f# д, получаем, чт< для некоторого ^>0 справедливо неравенство 1< < е, как только |х| < Рассмотрим произвольные х',х" € R с \х'-х"\ < 8, гд< 8*п\п(&р $г). Тогда существует i е [1,2,...,nj, дата которогс \u~S-VhS\s < (r). а из условия |ж-ж"|<? имеем 1^, <е- Следовательно, \Ux,f<x"-x') - U*-/(0)| < |Ux,f<x"-xr) - USif(x"-x')\ + + |^i/<*w-*')-^i/<0>| + |Lrs./(0>-ttt,/(0)| < Зе. С другой стороны, ТТ -ft ¦г" -r'l - ГГ -fVfll m f(X) ^ ft f f(X) L,,ftx -X)-Ux,fm поэтому fix") _ fix') 46 4\ux,f<x"-x'> - ux,f<0)\ + • | i - /*д<*-*'>| < < 3e + |(x")16 <<3 + |/l,)e. В результате доказано, что если / - (Лс,А)-ночти периодическая функция, то flfki является равномерно-непрернв-ной функцией на прямой. Теперь докажем, что это отношение gmf(f^д, есть почти пориодяческая функция в смысле Бора. В самом деле, для каждого I В R имеем - Ul<k,A)f<x) - <*+?>• Тогда для любых ^ получаем, что \Uli(kMf-Ul2(k,X)f\E - sug | jKX(x)g(x*ii)-1кЛ<*%(х+Ц= " SUP |g<* + fy -g<* + b>|"| \g ~ где Tf : g<x)-*g(x+l) есть обычный сдвиг. Таким образом, если f есть <>:,/1)-почти периодическая функция, то замыкание семейства обычных сдвигов функцииg компактно, поэтому функция g есть почти периодическая функция Бора. Очевидно, что это рассуждение можно обратить и доказать, что если g - почти периодическая функция Бора, то для лю-оой волны Френеля функция fmfjc9A,g является (к,Я)~ почти периодической функцией на прямой/
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
