Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Осипов В.Ф. -> "Почти периодические функции Бора-Френеля" -> 17

Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.

Осипов В.Ф. Почти периодические функции Бора-Френеля — Санкт-Петербург, 1992. — 312 c.
ISBN 5-288-00758-6
Скачать (прямая ссылка): pochtipereodicheskiefunkciiborafedelya1993.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 82 >> Следующая

^2^21*
Рассмотрим произвольную функцию уеЯ(2^),где Zj*R Пусть тЛ Тогда
(Fn <р)(эс)" (p((.r,0, i)°(0,y, 1 ))dy - у(х,у,еш*У)<1у •
58
= 5r dy = <? (x) " (Fy>) (x),
где / : есть преобразование Фурье - Планшере-
ля. В результате доказано, что F2t "Т* "
Найдем теперь сплетающий оператор между
представлениями IV и 1^, где W - представление группы Гейзенберга,
соответствующее произвольной паре вещественных чисел (Л,Л).
Пусть Ц = [а-Ю.-гея} - лагранжеза прямая в Рассмотрим произвольную
функцию ср е Я<73). Пусть ср есть ее сужение на дополнительную прямую
Zf={0}*R. Тогда
>уЛ)л(*А*))Лхя§ <$<ъу,И4*т
~5и <f<y + bx)dx -^е~лгЛ9сг~^1Я,х(^<у^1(х)<1х.
Следовательно,
5 6 ^лг2"2я,Ал;^^уч'*Ла(Г^л;'
^ /V
Наконец, вычислим сплетающий оператор между представлениями IVg и Ж
Пусть Z2 = {0} xR. Рассмотрим произвольную функцию €H<Z2) и функвдю
ш*Люе12(Б) - сужение функции <р на дополнительную прямую jR*{u}. Так как
и^вШЦ) удовлетворяет соотношению
<$<х,у, 1) *еш*Уу(х,0,1), для 0,1) имеем
< F32<fX}f>ш f " °" У"1W dx*
ж jp ^,y-M)fXtJL(x>dx^ ^e^y-bVfx^iyfk'XMdx,
< м ><y> - 5r e +**a*f •
59
Аналогично вычисляются операторы^2, и F^, сплетающие представления и
в W, W и w?l соответственно:
(Ti2 у Ну)" ^ ег*1хУ if(x> dx, (T3iyXy)"§Kfkll<x)y<y-kx)dx,
(Тпу)(ж)т faix) jV2sti*y (f<y+*x)dy.
Заметям, что формула обращения преобразования Фурье доказывает
соотношение I&** ftf*- Из общих соображений также следует, что ?2Ъ*^Ъ2'
^Дна^° здесь докажем это соотношение прямым способом, используя хорошо
известную из теории обобщенных функций формулу
Л+ 00
8<х) * j .
Ясно, что нам достаточно доказать соотношение W<г> =
" ср дпя всех функций из некоторого класса функций на прямой, плотного в
12(Л); например, для всех гладких функций с компактным носителем.
Итак, пусть ср - гладкая функция на прямой, имеющая компактный носитель.
Тогда
<F23 °hz > <?<*>~ fk,A <х> jp*ШхЬ <гзг +kx>dy =
'Л^>|р""2Л<Жу( ^еш1(У**х>-пШг+нШуНШ)dy .
= j* г*ШЧ<*>($я e2xUi'x>ydy) di -
" '*****+ a "&*<*> ^%ikx2-%ikxij>•&Л<Х)&?<*)*?<*)sf<*X
60
Следовательно, ?>*(?0Ф)яФ* что доказывает соотношение
Ч.Т Т
Аналогичным образом для любой гладкой функций ш о компактным носителем
имеем
<rn уу>" f*,b<x><Ft3 <f>< "/-•**>"** *
-гяа<*+1> ^fy+A">rff *
Следовательно, <j>, т.е. сплетающие оце^
раторы и связаны соотношением
i*i
Теперь определим композицию сплетающих операторов *
Лемма 1. При Im z > 0 справедлива формула
е"2***^ eni2t* rf| " ( f-)"Ч*в-*Лх*/г f
где непрерывная ветвь функции z - (zfi)~^z фиксируется выбором значения,
равного единице для z ¦ i.
Далее, из леммы 1 вытекает соотношение
i* ?<I>e*<|2"*3 " в**/4
Действительно, при Im 3 > 0 во теореме Планшереля я в оилу леммы 1 имеем
61
откуда при z-* i получаем формулу
Замечания. 1. Если к > 0, то при 2 -+к
№>**•** ¦Фкч"-'*'**.
2. Определим функцию <р формулой Легко
проверить, что (р"<рл. Если к < 0, то -Jr = |>r|>0, поэтому
Переходя в последнем равенстве к комплексно-сопряженным величинам, имее 1
соотношение
поэтому
фмм-л л
Таким образом, из последнего соотношения при замене <р на Ф следует, что
В результате объединения соотношения в замечании 1 с последней формулой
получаем для любого вещественного к^О равенство
а после замены к на - равенство
Теперь перейдем к вычислению композиции сплетающих операторов. Обозначим
к(у) - (/32 • Т21) у ) в е2ягхУ - nikx*+2*1&х ^x)dx.
Тогда
<FtfFi2'Fn)4<x)-(Fah)<x)~^e%ikl2-2*iUh<x+kl)dl = е-яШ2-гяШ^ е2хЫх+кЬ-
яИсх2 + 2шЛт ^<x)<ixj dl.
Если <p(u)e iy(u + (x+kl +Л", то ^(1:)=
поэтому внутренний интеграл можно записать в виде
SC Z 1л
^ <у (X)4'x,ilcxid-v • $ е %iu2!k du =
" €-^щ~^и+х^кМ^и%<1и
и тем самым
Следовательно, доказали, что
" " ' e-T"nJt *1^2
W*afe уртг- е l2(R) '
где f jr2^ есть оператор тождественного преобразования.
63
'¦3-sgn.fr ^ -jcijgft-toi&ft
шгХ'
В частности, оря Л = О сплетающие операторы F32 и каковы:
(e~3cikx2(^(x)dx '*F~i(e'xl/tx2^)(y),
поэтому
Таким образом,
(e-*ix*/**)*F-* • "Г"****,
Vl*7 ' '
где обозначает операцию свертки о функцией
а в есть оператор умножения на эту функцию.
Так как ('/¦1ср)ф)-(Л||)('-у), имеем
((е-ыхг/*^)e/-i)w M *
- jRe"reiJi^( ^к-у+г> "гг - h-jH* *
. " ((е-"**г/Л * ) • Jf*) <j)(-y ),
поэтому в доказанном соотношении для .Г"** можно обратное преобразование
Фурье заменить на прямое преобразование Фур&е У"
В результате
7- (в-***2/* *)"/. e~%i*x2-
Теперь определим интегральное преобразование Фурье - Фре-
не ля
;<х>е-*1*хг-2па* dx.
и
Ост о, что при Я "0 иг преобразования Фурье - Френеля подучаем
классическое преобразование Фурье
}<0,А) * /< Я) * /<*) е-^* dx.
Кроме того, из доказанной выше формулы для F следует,что
y-kl)dt,
йоэтому преобразование Фурье - Френеля и преобразование Фурье одной и той
же функции f связаны между собой интегральным преобразованием
?,/<*• у+М>е-*шгЛ.
Для данного интегрального преобразования легко получать формулу
обращения* Действительно, из соотношения для F находим, что
I F° <f№iJt3f2=|/jjtf € -7*ff%k(e~*ix*/* *yl* F,
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 82 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама