|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  j <р(ас) j < <jM0). Точно так же из соотношений ортогональности дня обобщенных сдвигов волн Френеля следует, что <f>j(Х<Х) " 2 с<к'я">с <*'> Л'+ (х>> ?a,a(0)s=2 И*^|2в (Х',Я') 75 1 справедливо неравенство |?м<а:)1 < Тм<0) (*€R>- Далее, так как функция f(x)/x суммируема с квадрата* на Я\ <-!,!>, для почти всех иеЖ существует предел *."""-Um(f* f Г) <fa, 1 л-+0'01 О-Л/ -I* а функция -f . ? - <"!*ш _ f , Vu)"jLt/<*>.'&...........- определена для любого ueR. Полоним SCu)* S.<u)+ S2(U). Тогда для каждого s>0 и для почти всех иск s<u+e)-*<u-e)¦ Xim /(*> -2Um Г /(*| . 2(/<*> Таким образом, для почти всех и с И преобразование Фурье - Планшереля ( f(x> )Л (и) ш | (e<U4 е) - S(и -8" , поэтому получаем соотношение I§JS<U+ в)-8<U-6)|*<iuI/{*)}* - rfae Заметан, что -L- Г* *^3*1*- " 1, 2ел2 J-* аЗ а одна и твуберовнх теорем утверждает, что 76 S3 I том смысле, что если существует одна из частей равенства, то i вторая часть существует и принимает то же самое значение. В результате получаем соотношение и случае, когда f - тригонометрический полином второй ОМПвии, правая часть последнего соотношения Л1" - т<0> * 51 tc<>*A>i2- <*Л) С другой стороны, рассмотрим интеграл I т(?л<х)ЩИ*)\ц, - $п2м* dx Предположим сначала, что к*0. Тогда -С dx ш ~ ( ign(X-u*t)- 8^n(X-u-t)), и О >0 цо"тому J %% если А - Е < и < A + t, 1 О, если и<А-В или ц > А + е. Следовательно, для плоской волны * в имеем ( 2ае,если Д,-е<и<Л + е, S(U+fc)-S(U-E)"f " Л ел л л ( 0, если u [Д-?, А + в ]. В результате для тригонометрического полинома 77 /<*>-? r"l t^7xiXe* и для положительных ?, настолько малых, чтобы промежутки [A{--e.Aj+e], [Аг-е, Л2 + е],...,[Ля-е, Ля+ е] не пересекались между собой, получаем соотношение 5rti+e>-"u *¦- J- U"<V*.V") (2*1Сг,е ,_e> "1a I 0, e если иф r-E, Аг + е] ДЛЯ каждого rf поэтому lim 1 |*<u + e)-"(u-6)|s<<u - T |cr|!, **" 8"JJ' где а,Ь-произвольные вещественные числа, отличные от частот Й/р А?'-4 4 * Ля плоских волн" входящих в исходный тригонометрический полином. Другими словами, правая часть последнего соотношения равна суше квадратов модулей скачков функции s<u) на промежутке умноженной на 1/<4я2).На языке физиков эта величина с точгостью до постоянного множителя равна полной энергии той чеоти колебания, заданного исходным тригонометрическим полиномом, которая соответствует частотам из промежутка [о^Ь]. Далее,рассмотрим волну Френеля ^(х)=ех****+2хгЯх с В этом случав имеем * *<&*<*> - 2 j Vf**2cos sin 2rt(A-u+e)tt _ sm2iHX-u-t)x J gx _ - 2Я§"exik*2 ( 5* U+tcos 2*y<rrfy)^* • Изменив порядок интегрирования, получим I - e%ikx*cos 2зtyxdxj dy. Ндеоь внутренний интеграл легко вычисляется: •• +00 . +* fe*""eos2*y*rf*-| q -ее * . * *--Лш."е 1*&ке~^Уг. Тнгди Заметим, что возможность изменения порядка интегрирования можно обосновать, рассмотрев вместо е(tm)**2 величину l%iik±i$)xt с ?>0, т.е. рассмотрев вместо А величину к+Ш и положительной мнимой частью. Тогда возможность изменения порядка интегрирования становится очевидной. Наконец, в исходном интеграле, соответствующем и в конечном выраже- нии можно осуществить предельный переход под знаком интеграла при ?-*0. Таким образом, 5(u+e)-5(u-e)"^S=;e:?^8nicf e~%y*dy. V|*| "А-ы-б Отсюда, в частности, следует, что для каждого иеR спра-Ивдлипо неравенство | 5fU+е) - S(U-?)J 4 t" поэтому для любых а,Ь € К (а<Ъ) lim s(u+z) - s(u-t)\2du - 0. В то же время для бесконечного промежутка имеем 7<J Следовательно, в случае волны Френеля с кФО nomas энергия той части колебания, описываемого волной Френеля, которая соответствует любому конечному промежутку частот равна нулю, но в то же время полная энергия, соответствующая всей прямой частот, с точностью до множителя равна единице. Это означает, что средствами обобщенного гармонического анализа Н.Винера мы не в состоянии локализовать к любому конечному промежутку частот энергию колебания, описываемого волной Френеля. Рассмотрим снова автокорреляционную функцию <р для f: Используя стандартный способ выражения скалярного произведения через соответствующие нормы, получаем + i | f<Ux) + if(i)|2 - i\f(Ux>-if(l)f) dl - * lim 5 l (sx(iz + s)-sx(u-e))(s(u+?)-s(u-E)}dti, € + 0 U-oo ГД* ал(и) связано с функцией j{l+x) таким же образом, как t(U) овязано с функцией f(l). Кроме того, можно доказать, что при Е-*0 справедлива оценка Л 4" S I -Vu + e> ~ sx<u-e)~ еUixu{s(u+ t)-s(u- щ\%du * 0<еЬ, */"4 00 ионтому в последнем выражении для автокорреляционной функции <ji можно sx<u + e)-sx(u-e.) заменить на е2зС1яи{ s (и +1) -¦ s(u-e>). Н результате получаем, что 4?<х) = lim e^^lsdi+s) - s(u-e)l*du. Наконец, по функции <^>(ас) определим новую функцию б(и) тнким же способом, как была введена функция s(U) с помощью {(*): & с) ^ ^+,?>^ * Для каждого г > 0 рассмотрим функцию л-Х" , ?е<зс>" 8езс2 J еЫгхи J s(u+ ?) - s(u-e)|2<iu И о помощью определим функцию €g(u), аналогичную е(и)г ",<u).Um ( $\ ?' ) 'ЫЩ^.Лх + dx. Тогда из формулы обращения преобразования Фурье - Плаше-|""Лй следует,
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
