|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  функций на прямой, которые измеримы по Лебегу и для ":стог"кх су'.уотвует ю(сс) прк всех . Заметши также, что для функции f и для произвольной вол-UN Френеля существует конечный предел а(к,Я)~ Пт, -ятв-С f<x) e~xi*x2 ~23tl!f,x dx. Г-+л> 21 Действительно, последнее утверждение очевидным образом справедливо для каждого тригонометрического полинома второй етвпени. Взяв произвольное е > О, можем найти полином Р9 такай, что \f-P\oo < Ь, а также найти положительное число 31, ?§ноа, что для любых Т\ Тгг > Та '2Т$-ГР<Х>к*<х)4х - 2r'Ir-Ptt)4*W,,i* < е. J результате получаем, что [ j_pr ! 2Т* J-r * /5-г' f(x)f*,x<x)<ix ~ rr'S-T" < (г I Y?'S.rp<x>f*,x<x>dx - яг"Ут"Р<х>&'л<х)(*х I < < 2е + е = Зе, что доказывает существование конечного предела. Ясно, что в случае, когда J есть боровская почти периодическая функция, а(к,Л)"0 при кФО* а числа а( 0Д) = а{Я) являются коэффициентами Бора - Фурье функции Фиксируем пару (к$,Л^)€'В2 и рассмотрим функцию g * - д у. Очевидно, что g также является почти периодической функцией Бора - Френеля. Если числа Ъ{к,Я) определить или функции g таким же образом, как были определены' а (к,Я) ми функции f, то Ъ.(к,Я) ж &(к + кф, Я + Яф)* Положим <^*> - Mi({Ux(k,A)g)(i)g(l)). Тогда _______ {Ux(k,Mg)(t) = fkA(x)e2iS>lkx*g<x+l) 8? - Лд <*) е"2"*хгЛ,."0 (x+l)f<x + i)- 4. v*> > ¦ поэтому и тем самым Y*y*> = ?*+*<>-A + V*b В частности, отсюда следует, что для любых (Jr,A)eR^ функция является автокорреляционной функцией для g = - f Кроме того, эта функция g также принадлежит вине- ровскому классу S. Теперь для функции feAP2 рассмотрим спектральную функцию 6, которая из общих соображений, связанных со свойствами преобразования Фурье - Планшереля, определена для почти всех и е Я и справедливо соотношение е(и) = const ч* lim ? j $<и+в) - $(v-?)\2dv. Следовательно, с точностью до некоторого множества j?cR нулевой меры Лебега на R функция ? является вещественной и монотонной функцией. Если же иеЕ, то определим два числа: eJu)"sup{6(tt):ueR\^v^uJ, e^ujein^erws veR\E,v>uJ и положим 6(u)"(6L(u)-f6+(u))/2* В результате можно считать, что спектрахьная функция в определена на всей прямой R и является вещественной монотонной функцией. Так определенная спект ральная функция в имеет не более чем счетное множество [ Я^9 /Ц"***} точек разрыва и, как доказал Н.Винер для произвольной функции класса S> справедлива формула <!?)? 2<*<** + 0>- •<*"-">)' - U" iVirlT(tm)!3"'*- <И) J частности, если функция V непрерывна на R, то rli"" \rx>\Ux-o- T~>-t-л? 21 "J-Т Далее, из неравенства ^(•(Ал+0) - е(Ап-0))^б(+"о)-"(- ")<2яяр(0)<+оо олидует, что ряд ЙС S <"^л+0>- (Л) ещвдится абсолютно и равномерно, поэтому его сумма, которую обсмншчим через (х), есть почти периодическая функция на Н О неотрицательными коэффициентами Бора - Фурье. Почти везде на J? справедлива формула p4"C0 в йсЛ е2льих ds(u), ц которой правая" чаоть является ограниченной и непрерывной функцией на прямой. Наконец, Д?" wS!T I т1Х>' т^'Г*41'0' Так как спектральная функция для разности будет не- прерывной функцией на R, Ьолее общо: зафиксируем произвольное АеК и рассмотрим |умкцию gfrdx)*(ас). Автокорреляционная функция для ^ сшшадает с функцией ПГИ1 ............................ S*I (сд л-'\ ...а*, Л-*+"о\Л1 о-a/ -гл: f 1 в-2теш* _ f <и>-^й><"> --1ж dx' 89 Sk<u) * skl(u) + Sk2<u). Тогда для каждого e>0 о для почти всех u€R получаем, ЧТО sk<u+ е)- sk(u-е)= 2(g^ac) jA(u>, Следовательно, в силу теоремы Планшереля <1.|g,<*>|2 sbl^f?r . ^2"ex. ^ u-flp x откуда Jim ^ | sk(u + e) - s*(iz - e)|2rfu - - if $* j /<*>I2rfac -?*""• Полезно заметить, что в случае тригонометрического полинома второй степени f(x) * ^ + *"1 для произвольных вещественных а,Ь (<t< Ъ),отличных от чаотот Я*29 имеем следующую формулу: й? ыг- т:а<Яг<Ъ Как и для автокорреляционной функции су, для функции ?* справедливо соотношение ?"'*>¦ й? nh<L"',*+l>"*^ й' л> ^ , * lim -~ I е2*га:ц j sA(u + e)-sk<u-?)fdu . е-"о веяг,;.," 1 * XI ао арсше того" по функции <р^ мооясно определить новую функцию таким же способом, как была ваведена функция в с помощью (р : Тогда для почти всех цсК справедливо равенство бгА<и)= const + С l|sACv+6)-sJt('ir-e)|2</v. ?"*0 (Jq * ti частности, если f(X) • 2 <remi:k*2+ **Мт*, Г*1 то для произвольных вещественных at и Ь, отличных от Лр ...,ДЛ и таких, что полное приращение функции ^ на промежутке [a,b] вычисляется по формуле в*(Ь) - б*{л) " 2(r) ^ KI*. г;л<Аг<Ь В общем случае функция "л определена на К с точностью по некоторого множества нулевой лебеговой меры. Можно стандартным образом, как в случае *Г, рассмотренном выше, доопределить ь точках множества Е% и тем самым считать, что 6^, определена на веек прямой К и является вещественной монотонной функцией. Если Я2(к),...J - множество точек разры- ве Функции бг^то А у <2я>* 2<6.Л<*,+ °)" ека"(к)-0))г-тUm |<p,(*>|ak. <л$ Т~*+оо Г U частности, если 6^ непрерывна на К, то и=5-т'Т*<*)|2<<*
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
