Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Осипов В.Ф. -> "Почти периодические функции Бора-Френеля" -> 23

Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.

Осипов В.Ф. Почти периодические функции Бора-Френеля — Санкт-Петербург, 1992. — 312 c.
ISBN 5-288-00758-6
Скачать (прямая ссылка): pochtipereodicheskiefunkciiborafedelya1993.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 82 >> Следующая

Кроме того, из неравенства
2("АШ + °) - "А <*)-°Н"*<+")-"*<-">4 *
<*> = 2%<р(0) < + о?
ододувт, что ряд
91
^{х)шг% 2<в*<Ал<*>+0)-"*(^А>-о"
сходится абсолютно и равномерно на J?, поэтому функция является боровской
почти периодической функцией с неотрицательными коэффициентами Бора -
Фурье.
Почти везде на К справедлива формула
Л+Я" ,
bw&L'*" *•*<">¦
Наконец, так как спектральная функция для разности яв-
ляется непрерывной функцией, имеем
Теперь рассмотрим последовательность тригоно-
метрических полиномов второй степени, равномерно сходящуюся к функции
Пусть Qik(oc) есть автокорреляционная,функ-
ция для тригонометрического полинома второй степени ё~Ш1сх7Рг<х):
Так как
|(Н,<*>/к*)Л?) - <Ц*<*>Р,Н1>ъ7Г) I <
<(1Я. + 1Л1-)1/-р,Ь.
то для любого Т>0 справедливо неравенство
j- ??(и,<щн1>1[<Г><*г\*
""I
Отсюда цри "Т-*-+со_подучаем неравенства
Следовательно, имеет место равномерная на R сходимость:
92
Qlk =* ?Л<1 -*<")•
Заметим, что для тригонометрического полинома второй сте-
пени
рг<*>'Х Ч<Кя>Ь',л<х>
Qik(x> "2 ci<k^>ci<k' х+<кл<х>>
<т)
при этом непрерывная составляющая для Оцс(х), т.е, такая непрерывная на К
функция, с которой Q^ix) совпадает почтя везде на R (фактически всюду,
исключая конечное число -точек), есть
Чгк(х)т 2lcz<*"A)|2e2*a* *
т
Очевидно, что существует не более чем счетное множество EQcR, такое, что
для каждого 1=1,2,,.. для любых
xeR\E0. Следовательно, имеет место равномерная на R \ сходимость <рА,
поэтому <рА есть непрерывная функция на
R\?0.
С другой стороны, почти везде на R функция совпадает с функцией
л+"
Vx,~ ыЗ-.е Щ"''
которая непрерывна и ограничена на всей црямой R.
Таким образом, функции Тгл'"' a(f непрерывны на R и <у№ =* (равномерно
на Я \Ед), поэтому последовательность сходится равномерно на R
к функции
Действительно, равномерная сходимость на RNBq означает, что для любого ?
> 0 существует JV, такое, что для каждого I > Ж выполняется неравенство |
^^(аг) - <|)<ае)| < ? для всех х е К N Eq , откуда получаем
sup I <uZJt<х)- ш(х) I 4 е.
Но из непрерывности на R функций cj)^ и <|> вытекает, что'
93
поэтому для всех I >АГ выполняется неравенство ^I
т.е. =t Y (равномерно на R).
Таким образом, доказано, что функция ср является равномерным пределом
некоторой последовательности тригонометрических полиномов, поэтому (|>
есть почти периодическая функция в смысле Бора.
Рассмотрим теперь неотрицательную почти периодическую функцию Учитывая,
что почти везде на
К, имеем
Af<A<*)>-Um ^\x)dx -^Um |<|>
'ri" 2тГг |'р"(,г) ¦ b<n\idx'
откуда к есть неотрицательная почти периодическая функция с нулевым
средним значением, и тем самым она тождественно равна нулю.
Следовательно, почти везде на R справедлива формула
Y*<*>= гх ? <6*<V*>+ 0)- "*<V*>-0)) в 2л?А*<*>*.

Заметим, что правая часть этой формулы есть почти периодическая функция,
которая всюду совпадает с интегралом
поэтому спектральная функция 6^ является кусочно-постоянной функцией со
скачками в точках Я^к), ...
Наконец, легко определить величину скачка функции в кает ой точке Яп{к)
(л-1,2,...), Действительно,
(6Л.(ЛЛ (А>+ 0) - ек (Xn(k)-0)) ^ ^>k(x)€~nt:lnik)xdx.
\lo равномерно почти везде на R, поэтому для любо-
го е>0 существует Nf такое, ч?о для всех I >N оправедли-
во неравенство |<рл(я) - < 6 для почти всех *. От-
сюда вытекает, что для каждого Т>0
JL

4&,
4 в
откуда в пределе при Т~* + "о получаем неравенство
| й5 5.г^<*)в"2я,Ал<|г>*^* - b<*.V*"|2
для всех Z >Х Следовательно,
^(в*(Лла> + 0)- вИ^л^)-0))-итп |с;<*,Лл('Лг))|2.
В то же время из условия J* =*/ имеем
С|(*>яя(Щ-"<*,лл<*"- Д(tm), jf §*Tf<x>fk,b"<*><x>dx-
Таким образом, доказано, что
m 0)" - о"=| с<>с,лл(>г"|2
Я для почти всех х € И
Ь(х)~ ^л1С<к'Яп<к))\2е21С1Яя<*>Х '
(Л>
Пусть л - произвольное конечное множество вещественных чиоел и для
каждого кеК задано некоторое конечное подмножество Л*сЯ. Будем искать
такие комплексные числа а (к, Я), чтобн среднее значение
*(|/W- Yi ? <*(W>e*ik*2 + 2iCiAx\2)>
' хех АеЛ*
которое существует как среднее значение почти периодической
функшм Бора - Френеля, приняло наименьшее значение. Имеем
Af(Lf<x) - У V л(*,А)е****г + 2*их I2) -
1 хек дел* '
.л(|/")|г) - V 2 "*J>M<f<x>e""k*!-*a*i-
k€K /1еЛ*
95
-Т У <Н*,А)М</(х)е~я{*х2'2яЫх} + Y У |"<А(А)|г ш
Яелк АеХ АеЛм
.М{\ftxf) - 2 2 +
*eJC Л"А*
+ 22 !"<*.*> - .
ЫН ДеЛ*
Очевидно, что правая часть последнего соотношения принимает наименьшее
значение тогда и только тогда, когда
а(Х,Я) = с(к,&) *M(f<x)e~%lfcx2~ Ы1Хх) (кеК,ЛеЛк).
Кроме того, отскща же получаем неравенство
X 2 |c(A,A)J2< JK((/<*>I2) - <р<0).
JteX ДеЛ*
Если в качестве Л% взять конечное подмножество [ Я^к), ЛЛ(А)| точек
разрыва спектральной функции то
2 ^\сОс,Яг(Щ2 4 <р(0),
поэтому . Г*1
22 |сЙ,ЛЛШ)|г ^ 2зкр"".
<Л)
Таким образом, множество чисел к, для которых 6*<+л>) -*-бЛ<-а>)^0, не
более чем счетное* Обозначим множество таких к через (АрЛг2, "•• ]. Тогда
У <6* < + а>) - е* <-">)) 4 2%<о(0). s-I
Взяв в этом неравенстве т равным числу элементов множества {крк2^^]9 если
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 82 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама