|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  Кроме того, из неравенства 2("АШ + °) - "А <*)-°Н"*<+")-"*<-">4 * <*> = 2%<р(0) < + о? ододувт, что ряд 91 ^{х)шг% 2<в*<Ал<*>+0)-"*(^А>-о" сходится абсолютно и равномерно на J?, поэтому функция является боровской почти периодической функцией с неотрицательными коэффициентами Бора - Фурье. Почти везде на К справедлива формула Л+Я" , bw&L'*" *•*<">¦ Наконец, так как спектральная функция для разности яв- ляется непрерывной функцией, имеем Теперь рассмотрим последовательность тригоно- метрических полиномов второй степени, равномерно сходящуюся к функции Пусть Qik(oc) есть автокорреляционная,функ- ция для тригонометрического полинома второй степени ё~Ш1сх7Рг<х): Так как |(Н,<*>/к*)Л?) - <Ц*<*>Р,Н1>ъ7Г) I < <(1Я. + 1Л1-)1/-р,Ь. то для любого Т>0 справедливо неравенство j- ??(и,<щн1>1[<Г><*г\* ""I Отсюда цри "Т-*-+со_подучаем неравенства Следовательно, имеет место равномерная на R сходимость: 92 Qlk =* ?Л<1 -*<")• Заметим, что для тригонометрического полинома второй сте- пени рг<*>'Х Ч<Кя>Ь',л<х> Qik(x> "2 ci<k^>ci<k' х+<кл<х>> <т) при этом непрерывная составляющая для Оцс(х), т.е, такая непрерывная на К функция, с которой Q^ix) совпадает почтя везде на R (фактически всюду, исключая конечное число -точек), есть Чгк(х)т 2lcz<*"A)|2e2*a* * т Очевидно, что существует не более чем счетное множество EQcR, такое, что для каждого 1=1,2,,.. для любых xeR\E0. Следовательно, имеет место равномерная на R \ сходимость <рА, поэтому <рА есть непрерывная функция на R\?0. С другой стороны, почти везде на R функция совпадает с функцией л+" Vx,~ ыЗ-.е Щ"'' которая непрерывна и ограничена на всей црямой R. Таким образом, функции Тгл'"' a(f непрерывны на R и <у№ =* (равномерно на Я \Ед), поэтому последовательность сходится равномерно на R к функции Действительно, равномерная сходимость на RNBq означает, что для любого ? > 0 существует JV, такое, что для каждого I > Ж выполняется неравенство | ^^(аг) - <|)<ае)| < ? для всех х е К N Eq , откуда получаем sup I <uZJt<х)- ш(х) I 4 е. Но из непрерывности на R функций cj)^ и <|> вытекает, что' 93 поэтому для всех I >АГ выполняется неравенство ^I т.е. =t Y (равномерно на R). Таким образом, доказано, что функция ср является равномерным пределом некоторой последовательности тригонометрических полиномов, поэтому (|> есть почти периодическая функция в смысле Бора. Рассмотрим теперь неотрицательную почти периодическую функцию Учитывая, что почти везде на К, имеем Af<A<*)>-Um ^\x)dx -^Um |<|> 'ri" 2тГг |'р"(,г) ¦ b<n\idx' откуда к есть неотрицательная почти периодическая функция с нулевым средним значением, и тем самым она тождественно равна нулю. Следовательно, почти везде на R справедлива формула Y*<*>= гх ? <6*<V*>+ 0)- "*<V*>-0)) в 2л?А*<*>*. (Ю Заметим, что правая часть этой формулы есть почти периодическая функция, которая всюду совпадает с интегралом поэтому спектральная функция 6^ является кусочно-постоянной функцией со скачками в точках Я^к), ... Наконец, легко определить величину скачка функции в кает ой точке Яп{к) (л-1,2,...), Действительно, (6Л.(ЛЛ (А>+ 0) - ек (Xn(k)-0)) ^ ^>k(x)€~nt:lnik)xdx. \lo равномерно почти везде на R, поэтому для любо- го е>0 существует Nf такое, ч?о для всех I >N оправедли- во неравенство |<рл(я) - < 6 для почти всех *. От- сюда вытекает, что для каждого Т>0 JL 2Т 4&, 4 в откуда в пределе при Т~* + "о получаем неравенство | й5 5.г^<*)в"2я,Ал<|г>*^* - b<*.V*"|2 для всех Z >Х Следовательно, ^(в*(Лла> + 0)- вИ^л^)-0))-итп |с;<*,Лл('Лг))|2. В то же время из условия J* =*/ имеем С|(*>яя(Щ-"<*,лл<*"- Д(tm), jf §*Tf<x>fk,b"<*><x>dx- Таким образом, доказано, что m 0)" - о"=| с<>с,лл(>г"|2 Я для почти всех х € И Ь(х)~ ^л1С<к'Яп<к))\2е21С1Яя<*>Х ' (Л> Пусть л - произвольное конечное множество вещественных чиоел и для каждого кеК задано некоторое конечное подмножество Л*сЯ. Будем искать такие комплексные числа а (к, Я), чтобн среднее значение *(|/W- Yi ? <*(W>e*ik*2 + 2iCiAx\2)> ' хех АеЛ* которое существует как среднее значение почти периодической функшм Бора - Френеля, приняло наименьшее значение. Имеем Af(Lf<x) - У V л(*,А)е****г + 2*их I2) - 1 хек дел* ' .л(|/")|г) - V 2 "*J>M<f<x>e""k*!-*a*i- k€K /1еЛ* 95 -Т У <Н*,А)М</(х)е~я{*х2'2яЫх} + Y У |"<А(А)|г ш Яелк АеХ АеЛм .М{\ftxf) - 2 2 + *eJC Л"А* + 22 !"<*.*> - . ЫН ДеЛ* Очевидно, что правая часть последнего соотношения принимает наименьшее значение тогда и только тогда, когда а(Х,Я) = с(к,&) *M(f<x)e~%lfcx2~ Ы1Хх) (кеК,ЛеЛк). Кроме того, отскща же получаем неравенство X 2 |c(A,A)J2< JK((/<*>I2) - <р<0). JteX ДеЛ* Если в качестве Л% взять конечное подмножество [ Я^к), ЛЛ(А)| точек разрыва спектральной функции то 2 ^\сОс,Яг(Щ2 4 <р(0), поэтому . Г*1 22 |сЙ,ЛЛШ)|г ^ 2зкр"". <Л) Таким образом, множество чисел к, для которых 6*<+л>) -*-бЛ<-а>)^0, не более чем счетное* Обозначим множество таких к через (АрЛг2, "•• ]. Тогда У <6* < + а>) - е* <-">)) 4 2%<о(0). s-I Взяв в этом неравенстве т равным числу элементов множества {крк2^^]9 если
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
