|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  ~ Ттчг(*)\ < 2е + Легко видеть, что тригонометрический полином второй степени Tnini имеет вид Т /.t.Ti. А Л/ а*Ыт*г * 2 ***** Jjtml<X> " J* arl bsm Vjirs e > <r,i) где суммирование берется по некоторому конечному набору пар (r,s), зависящему от л, и для каждой пары <r,s) из этого набора ari -* I при 1-* оо и btm~* I при tn -+оо. Следовательно, двойная последовательность 1 ЮП1 \п,1п1 имеет разномерный предел ' =*2 <А"> поэтому существуют Х.,У9, такие, что для всех и I, V>jr2 | Тпп1<х) - Тят,Г(ж)\ < е, откуда I Tml<*> ~ Тт'1'<*>\ < Зе* Таким образом, доказано, что двойная последовательность тригонометрических полиномов второй степени {Равн0~ мерно сходится к некоторой почти периодической функции Бора -Френеля К. Если в последнем неравенстве перейдем к пределу при тг, V - "о, получим неравенство I 7па<*> ~ Ь<х)\< Зе <xeR) 106 -ui всех и I >N2. D to se время для каждого г-1,2,... Sm,kr =t fbr * -P*r /. если m ->oo, поэтому для каждого I = • U2,... W (W ^*1 jr*t так как при фиксированном I коэффициенты Лг^0 только для конечного числа номеров т9 т.е. здесь имеем дело с сушами ко-печного числа слагаемых. Следовательно, для любых хеЛ и для I J9A. * "rf/jfcr<*> " * 3В, do 2 Лп/>г =*:Л при Z~">. г* 1 Теперь докажем, что hmf* Прежде всего заметим, что последовательность тригонометрических полиномов второй степени выбиралась так, чтобы Рп ztj. Очевидно, что существуют не более чем счетные множества К^ и такие, что все полиномы Рп (и* 1,2,...) устроены из волн Френеля Л, д , для которых (А,Л) ? Xj по-атому можно считать без ограничения общности, что все такие пары (к, Я) уже содержатся в множестве лг*л, так как в противном случае достаточно заменить множества X и Л на множества X UJCj и ЛиЛ| и рассмотреть составные ядра Бохнера g ф*т* соответствующие множествам XUKj и AUA^* Однако дая кпждого л имеем Tnml если *п,1-*<*- Пусть 8 > 0 и номер л выбрал так, чтобы |4 <6. Тогда для всех xeR справедливо неравенство | -Л(ж)|4 4 Зе, если ж В то же время для любнх ягеН я J",Z - 1,2,... < U~p* l.Mi( v"'(f+xl) 4><т'<1" -(/-•?" I .<s- Наконец, при фиксированном л справедливо неравенство | 8* < 6 для всех достаточно больших mat. Следовательно, для всех достаточно больших т и I справедливо равномерно по #eR неравенство | Л(ос) - f(x)\ 4 4 \h(x)~7'mi(jjf)J 4* J Tmi(x) - Tnmi(x)\ +1 Tnmi(x)~Pn(x)\+\fyx)-f(x)\< <Зб + е + ? + g *6e, ?=e. для любых jtcK справедливо неравенство <6е. Так как е - произвольное положительное число, отсюда вытекает, что Л(хУж/(х) для всех атеК, Будем теперь называть спектром почти периодической функции Бора - Френеля $ множество тех характеров второй степени f* *" для которых *¦ л* лг' у с(к,Л) " lint Jtp ? tfa: ч* 0. Г~*+<ю J-Г Таким образом, доказано, что любую почти периодическую функцию Бора - Френеля можно с любой точностью равномерно аппроксимировать тригонометрическими полиномами второй степени, составленными из волн Френеля, принадлежащих ее спектру. В частности, если /еЛ1| й с(&Д)-0 для всех (jc,A)€R* то / " = 0, если же спектр функции есть конечное множество, то ? является тригонометрическим полиномом второй степени. Наконец, заметим, что в силу уравнения замкнутости <К,Л) имеем: если то эта функция тождественно равна нулю тогда я только тогда, когда В заключение некоторые из результатов, доказанных в этом параграфе, суммируем в следующих теоремах. 108 Теорема 7" Для любой почти периодической функции Бора - Френеля jf существует конечное среднее значение Волее общо: для каждой пары {к,Я) ? существует конечное среднее значение при этом выполняется уравнение замкнутости Л \с(КЩ2 -lim j(x)\zdx. (&Л) Теорема 8" Для любой почти периодической функции Бора - Френеля ? ее ряд Бора - Фурье У <(*,Я)еяШ2 + гяа* <Ы) сходится к функции f в смысле среднеквадратичного по фильтру конечных дополнений, т.е* для каждого е>0 существует конечное подмножество F^ cJR* такое, что для всех конечных подмно- жеств FcК, содержащих F^f выполняется неравенство M(\f<x> - У c(k,X)e*tk*U2%a* |2) < е. , у- ^ ' I у Теорема 9. Любая почти периодическая функция Бора - Френеля с любой точностью равномерно аппроксимируется тригонометрическими полиномами второй степени, составленными из волн Френеля, принадлежащих ее спектру. Теорема 10. Почти периодическая функция Бора - Френеля f равна нулю тогда й только тогда, когда -М(|/|2)~0. Теорема 11, Существует оператор проектирования Р^:АР2-* АР, для которого |Л||Ж1 и выполняется условие Биркгофа: для любых /еАР и geAI*. Кроме того, для любого >еК суде- 109 ствует непрерывная проекция Р^: АР^ЛР(к) ив алгебры всех почти периодических функций Бора - Френеля на замкнутое подпро странство АР(к), состоящее из воех к-почти периодических функций" § 2. Пространство максимальных идеалов алгебры АР2 Теперь переходим к изучению пространства максимальных идеалов банаховой алгебры АР2 всех почти периодических функций Бора - Френеля на прямой. Алгебра АР2 изометрически *~изоморфна банаховой алгебре С<#2) всех
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
