Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Осипов В.Ф. -> "Почти периодические функции Бора-Френеля" -> 26

Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.

Осипов В.Ф. Почти периодические функции Бора-Френеля — Санкт-Петербург, 1992. — 312 c.
ISBN 5-288-00758-6
Скачать (прямая ссылка): pochtipereodicheskiefunkciiborafedelya1993.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 82 >> Следующая

~ Ттчг(*)\ < 2е +
Легко видеть, что тригонометрический полином второй степени Tnini имеет
вид
Т /.t.Ti. А Л/ а*Ыт*г * 2 *****
Jjtml<X> " J* arl bsm Vjirs e >
<r,i)
где суммирование берется по некоторому конечному набору пар (r,s),
зависящему от л, и для каждой пары <r,s) из этого набора ari -* I при 1-*
оо и btm~* I при tn -+оо. Следовательно, двойная последовательность 1 ЮП1
\п,1п1 имеет разномерный предел '
=*2
<А">
поэтому существуют Х.,У9, такие, что для всех и I,
V>jr2 | Тпп1<х) - Тят,Г(ж)\ < е,
откуда
I Tml<*> ~ Тт'1'<*>\ < Зе*
Таким образом, доказано, что двойная последовательность
тригонометрических полиномов второй степени {Равн0~ мерно сходится к
некоторой почти периодической функции Бора -Френеля К.
Если в последнем неравенстве перейдем к пределу при тг, V - "о, получим
неравенство
I 7па<*> ~ Ь<х)\< Зе <xeR)
106
-ui всех и I >N2. D to se время для каждого г-1,2,...
Sm,kr =t fbr * -P*r /. если m ->oo, поэтому для каждого I = • U2,...
W (W
^*1 jr*t
так как при фиксированном I коэффициенты Лг^0 только для конечного числа
номеров т9 т.е. здесь имеем дело с сушами ко-печного числа слагаемых.
Следовательно, для любых хеЛ и для I
J9A. *
"rf/jfcr<*> " * 3В,
do
2 Лп/>г =*:Л при Z~">. г* 1
Теперь докажем, что hmf*
Прежде всего заметим, что последовательность тригонометрических полиномов
второй степени выбиралась так,
чтобы Рп ztj. Очевидно, что существуют не более чем счетные множества К^
и такие, что все полиномы Рп (и* 1,2,...) устроены из волн Френеля Л, д ,
для которых (А,Л) ? Xj по-атому можно считать без ограничения общности,
что все такие пары (к, Я) уже содержатся в множестве лг*л, так как в
противном случае достаточно заменить множества X и Л на множества X UJCj
и ЛиЛ| и рассмотреть составные ядра Бохнера g ф*т* соответствующие
множествам XUKj и AUA^* Однако дая кпждого л имеем
Tnml если *п,1-*<*-
Пусть 8 > 0 и номер л выбрал так, чтобы |4 <6.
Тогда для всех xeR справедливо неравенство | -Л(ж)|4
4 Зе, если ж В то же время для любнх ягеН я
J",Z - 1,2,...
< U~p* l.Mi( v"'(f+xl) 4><т'<1" -(/-•?" I
.<s-
Наконец, при фиксированном л справедливо неравенство
| 8* < 6
для всех достаточно больших mat.
Следовательно, для всех достаточно больших т и I справедливо равномерно
по #eR неравенство | Л(ос) - f(x)\ 4 4 \h(x)~7'mi(jjf)J 4* J Tmi(x) -
Tnmi(x)\ +1 Tnmi(x)~Pn(x)\+\fyx)-f(x)\< <Зб + е + ? + g *6e,
?=e. для любых jtcK справедливо неравенство <6е.
Так как е - произвольное положительное число, отсюда вытекает, что
Л(хУж/(х) для всех атеК,
Будем теперь называть спектром почти периодической функции Бора - Френеля
$ множество тех характеров второй степени f* *" для которых
*¦ л* лг' у
с(к,Л) " lint Jtp ? tfa: ч* 0.
Г~*+<ю J-Г
Таким образом, доказано, что любую почти периодическую функцию Бора -
Френеля можно с любой точностью равномерно аппроксимировать
тригонометрическими полиномами второй степени, составленными из волн
Френеля, принадлежащих ее спектру. В частности, если /еЛ1| й с(&Д)-0 для
всех (jc,A)€R* то / "
= 0, если же спектр функции есть конечное множество,
то ? является тригонометрическим полиномом второй степени. Наконец,
заметим, что в силу уравнения замкнутости
<К,Л)
имеем: если то эта функция тождественно равна нулю
тогда я только тогда, когда
В заключение некоторые из результатов, доказанных в этом параграфе,
суммируем в следующих теоремах.
108
Теорема 7" Для любой почти периодической функции Бора -
Френеля jf существует конечное среднее значение
Волее общо: для каждой пары {к,Я) ? существует конечное среднее значение
при этом выполняется уравнение замкнутости
Л \с(КЩ2 -lim j(x)\zdx.
(&Л)
Теорема 8" Для любой почти периодической функции Бора -
Френеля ? ее ряд Бора - Фурье
У <(*,Я)еяШ2 + гяа*
<Ы)
сходится к функции f в смысле среднеквадратичного по фильтру конечных
дополнений, т.е* для каждого е>0 существует конечное подмножество F^
cJR* такое, что для всех конечных подмно-
жеств FcК, содержащих F^f выполняется неравенство
M(\f<x> - У c(k,X)e*tk*U2%a* |2)
< е.
, у- ^ ' I у
Теорема 9. Любая почти периодическая функция Бора - Френеля с любой
точностью равномерно аппроксимируется тригонометрическими полиномами
второй степени, составленными из волн Френеля, принадлежащих ее спектру.
Теорема 10. Почти периодическая функция Бора - Френеля f равна нулю тогда
й только тогда, когда -М(|/|2)~0.
Теорема 11, Существует оператор проектирования Р^:АР2-* АР, для которого
|Л||Ж1 и выполняется условие Биркгофа:
для любых /еАР и geAI*. Кроме того, для любого >еК суде-
109
ствует непрерывная проекция Р^: АР^ЛР(к) ив алгебры всех почти
периодических функций Бора - Френеля на замкнутое подпро странство АР(к),
состоящее из воех к-почти периодических функций"
§ 2. Пространство максимальных идеалов алгебры АР2
Теперь переходим к изучению пространства максимальных идеалов банаховой
алгебры АР2 всех почти периодических функций Бора - Френеля на прямой.
Алгебра АР2 изометрически *~изоморфна банаховой алгебре С<#2) всех
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 82 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама