Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Осипов В.Ф. -> "Почти периодические функции Бора-Френеля" -> 3

Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.

Осипов В.Ф. Почти периодические функции Бора-Френеля — Санкт-Петербург, 1992. — 312 c.
ISBN 5-288-00758-6
Скачать (прямая ссылка): pochtipereodicheskiefunkciiborafedelya1993.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 82 >> Следующая

пренебрегают квадратичными членами и члонами более высокого порядка.
Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Почти периодические функции Бора
Класс непрерывных почти периодических функций на вещественной прямой К
был введен в 1924 г. Харальдам Бором (1887-1951). Однако ухе в 1910 г.
Бор рассматривал вопросы суммируемости рядов Дирихле, и его ранние работы
относились к таким рядам в связи с приложениями к дзета-функции Римана
и,в частности, к проблеме локализации ее нетривиальных нулей. Бор также
изучал распределения значений дзета-функции и других рядов Дирихле на
вертикальных прямых комплексной плоскости. Все эти рассмотрения и
послужили для Бора исходным пунктом исследования замечательного класса
непрерывных функций на прямой, которые могут быть разложены на чистые
колебания, т.е. в определенном смысле могут быт" представлены
тригонометрическими рядами
+ *ге**х
где и /Ц'/Ц,""* - комплексные я вещественные чис-
ла соответственно.
Следует отметить, что в классическом случае присутствуют лишь
гармонические колебания вида 0,^***°*, где ш^О, л =
= 0,±1,..." рассматриваемая непрерывная комплекснозначная функция f ка
прямой является периодической функцией с периодом Г*2я/|а>|, а ее
представление
fix) ~ 2
Л*-00
есть ''разлокение" в ряд Фурье, который для достаточно гладких функций
сходится в каждой точке X к значению функции в этой точке, а в случае
произвольной непрерывной функции с периодом Г необходимо использовать тот
или иной обобщенный метод суммирования рядов, например, метод
суммирования по Чезаро.
8
Теперь рассмотрим функцию f<x)*Ae ' tX+Be 2X, где и А* - несоизмеримые
вещественные чясле, т.е. их отношение Aj 1%г иррационально. Ясно, что
отдельные слагаемы Аб***ж и Ве ^гх являются периодическими функциями с
периодами 2%!\Ц и 2%/Щ соответственно, а при А,ВфО их суша f не является
периодической функцией. В то же время она обладает достаточным
количеством "почти периодов" и тем оамкм является почти периодической в
смысле следующего определения.
Определение. Пусть f - непрерывная комплекснозначная функция на прямой.
Тогда для е>0 вещественное число 'С"'С<6) есть ?-пер и од функции ft если
< 6 для лю-
бого ateR. Функция f называется (равномерно) почти периодической, если
для любого е > 0 существует L > 0, такое, что на каждом промежутке вида
[а, а-*-Ь ] лежит хотя бн один е-период функции f.
Все непрерывные комялеконозначные периодические функции, а также все
тригонометрические полиномы, т.е. функции вида
Г<*)- а2ва**+...+ а*ва**
являются почти периодическими функциями на К. Кроме того, можно доказать,
что класс всех равномерно почти периодических функций замкнут
относительно поточечных операций сложения и умножения, а также
относительно операции равномерного предельного перехода.
Одна из центральных теорем теорш Жчти" пё^одическйх функций Бора
утверждает, что ограниченная непрерывная комплекснозначная функция на
прямой является почти периодической тогда и только тогда, когда она
являетоя равномерным пределом последовательности'Тригонометрических
полиномов. Другими словами, класс всех почти периодических функций на
прямой есть точно замыкание по sup -норме множества воех функций
указанного специального вида.
Другая важная теорема Бора утверждает, что для каждой почти периодической
функцр f существует конечное среднее значение "у
M<f)= Ibn \ f<хуdx.
9
Так как для почти периодической функции f я любого вещественного числа %
^нкцил X также почти периодиче-
ская, то существует среднее значение
M<f(x)e~^x) * lim ~=r ^ f(x)e~**lXdx.
Т-*-+ео 2 Г %)-Т гХ'г
Оказывается, что для всех вещественных
Л, за исключением не более чем счетного множества значений А. Это
исключительное множество J называется
"спектром" почти периодический фуккхШ' а числа сп ~ =M(f(xye ^Х) -
коэффициентами Боре - Фурье функции /" при этом почтя периодическая
функция f представляется рядом Бора -Фурье jспе например,в смысле
среднег'вадратичного:
п 2
f(x) - ^ dx ~ 0,
к~\ *
Если ряд Бора - Фурье сходится равномерно на К, то имеем разложение
/<*> я 2 €"€%ЯпХ <хеИ),
Я * I
а для произвольной почти периодической функции восстановление
J по ее ряду Бора - Фурье можно осуществить с помощью состав-
ных ядер Бохнера, которые являгтся аналогами ядер Фейера в теории
тригонометрических рядов.
Укажем два направления дальнейшего развития теории почти периодических
функций. Прежде всего на линейном множестве всо: тригонометрических
полиномов можно рассматривать различные метрики.
Например, ж+1
SUP J,
Х€И х
У
Jr т ASfty-gdAM.
dl v-T
lim lim
7*нИ-сс"
I
10
>* *UP 77 С \f<l)-g<l)\di
X CR Оде
есть расстояния в смысле Степанова, Безиковича и Вейля соответственно.
Тогда лочти периодическими функциями Степанова, Бези-ковича или Вейля
являются элементы из пополнения множества тригонометрических полиномов по
соответствующей метрике. Можно также говорить о пополнении по I?-
расстоянию и, более общо,
по I^-расстоянию и т.д. В настоящее время имеется весьма полная теорш:
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 82 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама