|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  т.е. /<u>0f, zt) = /(w", z1)t как только (w')n = (ы")п. Оператор усреднения и: С(Т) ассоциированный с проекцией определяется формулой U{/){Z0, Zj) = (Pj/)* (Z0, Zj), где преобразование А в левой части равенства указывает на пре-124 пйразование Гельфанда для алгебры B(k0f&t), а в правой - для алгебры В (к0, Д/ф), при этом справедливо следующее соотношение: и (/><*0. Aw0,z,), <ur0) %'№ суммирование проводится по всем z^eT; для которых = * *0* Кроме того, по аналогии с отображением <j>:R-*T2 прямой Й в пространство максимальных идеалов алгебры B(JCq,&q) ""Наделяем непрерывное отображение ср :JtVT2 прямой в прост-1"м1н:тво максимальных идеалов алгебры В(к^Х^): Ъ<х)-(еы*1* 6**0**) (хеИ). Очевидно, что и выполняется условие согласованно- сти Как и для <ji, имеем для каждого дгвК, а отображение : JR -* Т2 представляет траекторию аддитивной группы Я при "обмотке тора", составленной из круговых движений с постоянной угловой частотой 2$0/Ц по первой координате и угловой частотой линейно зависящей от времени х9 по второй координате. Далее, фиксируем произвольные ненулевые JCq9Xq€R и определяем числовую последовательность формулой Xq 88 Л (Л я 2j"*" )" Тогда B<k0,Xt)^ B(JcQ9X0)9 Ц) с .В {) (л* 1)2, B{&QiA*fl) с В (&q9 Xjft) {yt | уъ) . Пусть в случае, когда п\т9 Рпт обозначает проекцию алгебры B<ft0Am} иа ее подалгебру 3(&0,Хп)'Еслй n9mfl - целые положительные числа, п\т и т\1ч то операторы Pnm>Pmi* РП1 хорошо определены, и удовлетворяют следующему условию' согласованности: 125 pnl ш pnm * Pml ' Если n\m, то проекция PnmВ(кфЛт)->В(к0Ял) хорошо определена, 14.И и выполняется условие Биркгофа: Pnm <gf) sgPnm <f) /еВ<к0,Лт"- Для каждого л* 1,2,... пространство максимальных идеалов банаховой алгебры Ъ{к^Яп) есть двумерный тор Т2. Если п\т, то с проекцией Рпт канонически связано непрерывное отображение такое, что для всех (Zq,z^ )СТ2 где Jfe определяется из соотношения т^кп. Отображения ^пт согласованы между собой: если П,7П,1 - целые положительные числа, такие, что п\т и т\1, то * fnwi ° * Для кагдого п = 1,2,... определяем непрерывное отображение прямой в пространство максимальных идеалов алгебры В С Ад, Дя): срл<ас> - (е2яа"х, eni*ox*) (xeR). Очевидно, что Кроме того, если п\т, то 4>л ~ пт ° • Действительно, из соотношений т*пк и следует, что Япа&Ят, поэтому для любого areR имеем wv*"- e-'v', v"*"*, "•"•*•) - Пусть есть наименьшая из замкнутых -^-подал- гебр алгебры АР2, содержащих все подалгебры В(Л^,Лл) {я(r)1,2Г.\ т,е. состоит из всех почти периодических функций Бора - Френеля, спектр которых содержится в множестве характеров второй степени /^д, с и ЯеЯ^Q. Заметим, что подалгебру С<*0, Ад) можно также определить формулой 'х чЛ • C(Jcq, Xq) e U 5 (к0,Яп), Л"1 где черта в правой части формулы означает замыкание относительно топологии равномерной сходимости в алгебре ограниченных и непрерывных функций на прямой JR. Обозначим через Рп (л*1,2,.") проекцию алгебры Cffr0,/L) на ее замкнутую подалгебру В<к$,Яп). Очевидно, что JJJJ "1 я выполняется условие Биркгофа: Fn<gf)-gpn<f) для любых функций ?геВ(к0,Хп)и feC(kg,A0). Если же п\т, то Р" ¦ Ри-_ о р Л JlJfl 7П Л Пусть ХтХ(к^Я^) обозначает пространство максимальных идеалов алгебры С<к^ЯЛ. Для каждого п*1,2,... рассмотрим не прерывное отображение %п : х- т? канонически связанное с проекцией Рп. Другими словами, определяем ^ как отображение из X в Т? при котором каждому максимальному идеалу I алгебры соответствует максимальный идеал I Г\В(к$9Ял) подалгебры BOcq,}1л). Из определения прямо следует, что для любых целых положительных л и ж, таких, что п\т9 выполняется условие согласованности Далее, фиксируем произвольное положительное целое число л. Пусть аглеТ2 и 1Я= [heB<k0,X") : h<xn)= 0 | - соответствующий максимальный идеал в алгебре В<>С0,/1л). Пусть J* обозначает идеал алгебры С(к^9Я^)9 порожденный идеалом 2Д, рассматриваемым в качестве подмножества алгебры Тог- да Рп<1*)-1". Действительно, если то f имеет вид +gshs, где gke С<*0,Л0), 1п (>-1,2................. Пользуясь условием Биркгофа, получаем PJ "2-^ <gkhk> ш ? Pn<gk>hJc ? > >"1 *" I 12г. т.0. Pn<I*)cln. Обратно, если he 1Л, то Л*Р"Н ?Р"{1%), поэтому 1псРпа*п). Таким образом, доказано, что Рп( I*) - = In- - Пусть Jn~ 1* ~ замкнутый идеал в алгебре С(к0,Я0), порожденный множеством 1л. Тогда из непрерывности проекции Рп и замкнутости идеала 1п следует, что Рп (Jn) - 1п. Отметим, что чдеал 1Л можно получить из идеала ^ и другим способом: l" = Jnr)B<kQ,bn). Действительно, если то h=Pnh е Рл(2п) = = 1п, т.е. J"nB{Jc0,An)cJn. Если же ке!п, то hel*, поэтому и тем самым heJ^QB (Л0,Яп), что дает обратное включение /пс :пПВ<к0'Ю- Таким образом,' доказано, что 1Л = vs= Jnf\ В (к q9/1Л). Далее, рассмотрим замкнутое подмножество Е(хл) ~^xzX i f(x)~0 тя всех feJn ] л -штесяво общих нулей функций $ с которое иногда назы- вают коспектром идеала Зп алгебры С(к^Я^). Если хеЕ<хп\ и J="| fe С:?<х)*0\ - соответствующий максимальный идеал
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
