|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  Для произвольного целого положительного л рассмотрим (Ф(ас))п. Раскрывая скобки, легко видеть, что 145 где суммирование производится по воем наборам неотрицательных целых чисел n(t,nv...,nr,mi,..., и4, таким, что n0 + nj+...+ + лг + mi +... + ms *п, а числа и> "oj _ • я,9( +...+Л 8.+ и,в,и, п,т Л|,...,лг" 1 " гг 1 r+l s r+s не зависят от переменной х. Отметим, что в силу линейной независимости чисел Л{, Лг,...,Лг равенство ntAs + я2Л2 + ... + лгЛг " "JAj + "2^2 + -..+ ЯуДг возможно только при п^п^, п2шп'г,...,пг<*п'г. Аналогично, равенство w2)ir2 + ... + - wJJtj + ...+ возможно только при т^*т\, тг"гп'г,. m't. Следовательно, в силу ортогональности характеров второй степени относительно среднего значения на прямой И имеем Mflfdll1")-Urn , Рассмотрим функцию 145 в(* ". at ) - 1 + Т, в w где otj, "2>"¦ > " независимые вещественные переменные, каждая из которых принадлежит интервалу <0,1). Ясно, что верхняя грань !"1 равна 1+г+в, что достигается, когда Ш , . , ТЯ А/. "О. Для произвольного целого положительного л (&Ы " Йя-Т П]_________________,2*1й^-^+л1^|+"-+тЛ*|) ?*••" г"*(r) ,м лр!-.лг!я1!".лв! * поэтому омь -".>гл 'v л Таким образом, доказано соотношение 146 Но очевидно, что - sup"г.............л,+,)|-е(0,0,...,р)-I+r+s, Поэтому lim (АС(|Ф(а?Нгя))1/<г,1> - i+r+s. Л *¦ flD Так как |Ф<ж)|4 I+ Г+5 для любого xcR, яз последнего Предельного равенства получаем sup |Ф(ас)| * I + г + S, "(R что я требовалось доказать. Итак, мы показали, что для произвольной точка (*1, г2.....2Г; мг1( w/2,..., w,) с Тг+ " функционал Т, заданный первоначально на плотном в В подмножестве тригонометрических полиномов второй степени указанного выше вида, допускает непрерывное продолжение на во" алгебру В, поэтому пространство максимальных идеалов алгебры В можно отождествить с (r+sj-мерным тором Т14* снабженным стандартной енклиловой топологией. Рассмотрим снова два набора вещественных чаоел < Л>{, Да, .... Яг) и (Aj.Aj,...,Jt9)t каждый из которых линейно независим над полем Q. Пусть hmnhn < ^ • 1,2,..., a-; n-f, 2,...), А| 9Jtl Л1 * i*#) > Тогда для любых векторов л * (п Jt лг,..., пг) и Я - (ж j, ........ws) с целыми положительными координатами можно образовать замкнутую * - подалгебру алгебры APgi n,m m .....^глг> *lm 147 Пространство максимальных идеалов алгебры Зцщ воть тор Тг+Л. Кроме того, в случав, когда пг\п\ и (I = в 1, имеем включение ¦(r)л,п с Вп'т" 1'де п'~(л{,п'2, •¦.,n'r), при этом существует проекция Р * Р(п.т); <Я;т'>: ^я'т' " ^п,п ' для которой и *1 и выполняется соответствующее условие Биркгофа. С этой проекцией канонически ассоциировано непрерывное отображение пространства максимальных идеалов алгебры в пространство максимальных идеалов алгебры В- - toe ю_________ _ . тг+s -тг+" такое, что f {*,, z2,...,zr; UT{..ur4)-(z1\ z** где n'y-k^ (1*1,2,...,r), (1-1,2,..., s). В очевид- ном смысле такие отображения <р согласованы между собой, поэтому можно рассмотреть проективный предел торов Тг+* снабженных системой согласованных непрерывных отображений т)'(п'т'у Ясно, что с этим проективным пределом можно отождествить пространство макоималышх идеалов алгебры D " ....*в)ш}Ця)В^"1''',Л'гЯг'*1т1.........^sntg' состоящей из всех почти периодических функций Бора - Френеля, спектр которых содержится в множестве характеров второй степени /Лд, таких, что ifCifcjQ+ ...+Лва, X*XtQ + ...+ ArQ. Заметим, что пространство максимальных идеалов алгебры 3 можно получить, осуществляя независимо предельный переход к проективному пределу по каждой из r+s координат. В результате пространство максимальных идеалов алгебры D представляет- 148 ся прямим произведением г+ $ экземпляров компактного хауодор-фова пространства, которое является проективным пределен последовательности окружностей Т с очевидной системой согласован-них между собой непрерывных отображений <рЛт(г)-г* (т-Ьп). Наконец, непрерывное отображение - прямой К в пространство максимальных идеалов алгебры В- ~ определяетоя соотношением и может быть задано явной формулой "и /2*1.1, х ._*г ar2. .__ r! e 1 "•••>? * ) (хеЦ), т.е. <jJ- - представляет многомерное обобщение "обмотки тора", рассмотренной выше. Очевидно, что непрерывные отображения -согласованы между собой: ,Л Ня^я " ?<л,ж); (Я'>п'> * Тя.'л' ' Следовательно, непрерывное вложение (j> прямой К в пространство максимальных идеалов алгебры В, такое, что f(X)"f((^(Xf) для каждой функции feD и для любых хеК, можно определить как проективный предел системы непрерывных отображений ^п,т -Разумеется, что это вложение можно составить и из вложений прямой в каждый из r + s экземпляров проективного предела окружностей. В результате мы доказали следующую теорему. Теорема 15. Пусть (Aj,A2,.<.ДГ) и (Aj,*2,произвольные наборы положительных чисел, каждый из которых линейно независим над Q, В*В(Лц............Ar; Jr2,..., кв) - замк- нутая # -подалгебра алгебры AP2, состоящая из воех почти периодических функций Бора - Френеля, спектр которых содержится в множестве характеров
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
