|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  В этом параграфе приводим еще два условия для того, чтобы непрерывная функция была почти периодической функцией Бора - Френеля, Одно из этих условий представляет сведение почти периодических функций Бора - Френеля к боровским почти периодическим функциям от двух переменных, а второе условие является обобщением известного описания боровских почти периодических функций с помощью е-почти периодов. Рассмотрим сначала боровскую почти периодическую функцию /, т,е. такую непрерывную функцию на которую можно с любой точностью равномерно аппроксимировать тригонометрическими полиномами, составленными из плоских волн e2xi^x, Пусть е -произвольное положительное число и Р - тригонометрический полином вида Р<*)ш Т <aceR) (А) с конечным число ненулевых коэффициентов сА, для которого J/--р ц оо ^ ?/4 • Пусть ^2i Ду) " конечный набор вещественных чисел из базиса Хамеля Л, по которым разлагаются плоские волны, входящие а тригонометрический полином Р : 15S €гяiXx я ginftc^x е2ж1"гягх etKi<cra.rx где "j,oireQ. Рассмотрев подходящие аликвотные части чисел А^, Я2,->-, Яг, можем записать тригонометрический полином Р в виде Р<х)ш 2 а1 и ..,1 е^я*^1^1Я|+^2л+ *......' где в правой части равенства суммирование берется по некоторому конечному множеству точек (1Ь Ц,..., 1г)е Ъг, Aim^A;!я,-(z " 1,2, ..., г) и Jlj, л2,.".лг - достаточно большие положительные целые числа. Функцию Р можно рассматривать как функцию да г-мерном торе Тг : P<zvг2......*Г>- ? ^*1" ^2""'" fy) причем для любого oceR имеем соотношение Р<ху шР(е2я^Щж, егя1лгп2х,.... e2ni^mrх). Используя отображение (j>:R-*T* заданное формулой = (е2л<А1л,* е2я?А""г*) ('afeK), перепишем последнее соотношение в следующем виде: PCaf) * P(tj)<'x)) (arcR). Ясно, что отображение ср есть непрерывный гомоморфизм прямой Л в мультипликативную группу Тг. Но тогда в силу теоремы 1 для любой окрестности V единичного элемента е"<1,1,..,,1) в группе Тг существует такое положительное число Т, что в каждом промежутке [а, а + TJ длиной Т существует число X, для которого У. С другой стороны, в силу равномерной непрерывности функции Р на торе Тг существует окрестность V единичного элемента в группе Тг, такая, что для всех z" <z1(z2,..., Zj.)?Т1* и uf-(u/vw2,...t vtr) в V справедливо неравенство -157 J P<Zbf) - Pi2>J < 8/2. а результате можно найти такое положительное число 1, что для любого леЛ существует хе[а,&+Т]} для которого ur = = К поэтому \Р(х+х) - P(*)|"|P<<j"(a:)^(T)j -P(<j>(x))| < е/2. Заметим, что ранее тригонометрический полином Р был выбран так, чтобы < е/4. Следовательно, имеем |/"е+Г)-/бг)|* l/Caf+t) -P(jc + x)| + |-Р(ж+Т)-Р(*)| + + |Р<*> -/W| < f+f+f"6' Таким образом, доказано, что для любого положительного е существует положительное Т, такое, что для каждого су- ществует fi-период тe[<t( л+Г] функции f9 т*е* для любого положительного е существует относительно плотное на прямой JR множество s -периодов функции f. Рассмотрим-теперь произвольную почти периодическую функцию Бора - Френеля /. Тогда для любого положительного е существует тригонометрический полином второй степени Р, такой* ото |^f -Р100 < 6/4. Пусть Л^.), {Jfj, * * *" ^5) *" конечные наборы вещественных чисел из базисов Хамеля А ь К соответственно, по которым разлагаются все волны Френеля входящие в тригонометрический полином второй степени Р: &я<х> - + Рг V - + +"2*2 + • • •+ "А*>* где "j.eSj...................^,?Q. Как и в более простом случае бороьской почти периодической функции, можно рассмотреть подходящие аликвотные части чисел ..,, ks и представить Р в следующем виде: _ , V V +..л1Л")х+х1(1к +~.*1,Кт)х* Р<Х)~ 2, 2- Ч,..,г-Х....** Лп' rr"r Iln' * >, <it.1 1 * где суммирование берется по некоторой конечной совокупности точек (ХрЦ* • • *" 1Т) и (lv ij, с целочисленными координатами* а - достаточно большие положи- 11S тельные целые числа. В результате функцию Р можно рассматривать как функцию на (г+s)-мерном торе Тг+* : p<zi..zr; wi..w"> - Г t ^ Г t *it....v. V-Л z/1-zr 41*1 - "Л причем для каждого arcR имеем соотношение Р<х)шP(e2niAi"ix,..., e2*,'lwir* е*^1т,*г(eKikimsxl). Используя отображение <p:R - Тг+*, заданное формулой e2*w"r* ...,еж'*.<т"*г), перепишем последнее соотношение в следующем виде: Р<Х) *".F4<j>(3e)) С*€К). Кроме того, рассмотрим непрерывные гомоморфизмы : Н -"¦ -*>ТГ и :Р -'•Т5, заданные формулами ^(емлЩх,е2ж1лгпгх), уг(х)*{е*гк1щ*, ...,exiksms*). Тогда для каждого лгеЯ имеем <{)<")"у2(х2"- В силу рациональной независимости вещественных чисел каждого из наборов {Ящ,Х2пг..........ХГПг) и (к1щ, к^, ...,к{щ) образ Л при гомоморфизме cpj плотен в Тг, а образ К при гомоморфизме <1>2 плотен в Ts. Следовательно, д. i любых онрестно-отей VJ и v2 единичного элемента в мультипликативных группах Тг и Т* соответственно существуют положительные числа Tt и Г2, такие, что для каждого "в Л существует такое те [а, л 4 ¦ Г|1, что и для каждого Z>cR существует такое Ь + Г2 ], что <|"г('Г')е Vt.
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
