Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Осипов В.Ф. -> "Почти периодические функции Бора-Френеля" -> 42

Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.

Осипов В.Ф. Почти периодические функции Бора-Френеля — Санкт-Петербург, 1992. — 312 c.
ISBN 5-288-00758-6
Скачать (прямая ссылка): pochtipereodicheskiefunkciiborafedelya1993.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 82 >> Следующая

<[>,(*) "*"****,.... е1*1***) <хсЯ),
где Л2,..., Яг сК, а плотность ^(К) в Т1* равносильна рациональней
независимости чиоел Я/ Аналогично пре-
дыдущему каждый непрерывный гомоморфизм <u?:F-"T* с плотным в *Г* образом
можно записать в виде
-("***"*, <?•****.......**"*"*) (жлЯ),
где Jkj, к2....Лг, - рационально-независимые числа.
162
Таким образом, если j - почти периодическая функция Бора - Френеля, то
для любого положительного е существуют положительные числа и и два набора
рационально-независимых чисел (Л{, Л2,,..,ЛГ), Jes), такие, что
\j<x+l) - f<x)\ < е для всех x,2eRt которые являются решениями системы
неравенств |А/11 < Jjfmod 1)
\kt<xl + f2/2)f < Sg(mod i) (Z"f,2,s).
Кроме того, для непрерывных гомоморфизмов и tj>2 :
i Л -* Т* существуют полсоительные числа Tj и Т2, а также существуют
положительные числа Sl и $2, такие, что в любом промежутке [a, a + Tj ]
существует подпромежуток dj длиной а в любом промежутке [Ь, Ь + Г2 ]
существует подпромежуток i2 А(tm)' ной такие, что Для каждого fjCAj
и
для каждого 1г с
Пусть Т*тах<ТиТг) и ?"п1п(?г S2), Тогда в любом промежутке [", л + Г]
существуют подпроыежутки ijж Aj<") и Д2" 42<а) длиной S', такие, что
для каждого i{edj и <^2<1?) с
шУг для каждого i2e Лг-
Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 18. Если / - почти периодическая функция Бора -Френеля, то для
любого ? > 0 существуют положительные числа 7 -
* Г(?) и такие, что в любых промежутках [а, ""Г] и
[Ь, Ъ + 7] существуют подпромежутки Jj-ijfaj и 4г-4г<Ь)дте-иой S, для
которых
\f<x+i)-/(*>)<*,
как только I € 4j и жI + 1*12 е Дг.
Следующая теорема дает нам одно из возможных описаний клас-
са ЛР2 всех почти периодических функций Бора - Френеля на прямой.
Теорема 19. Непрерывная функция / на прямой Я является почти
периодической функцией Бора - Френеля тогда и только таг-ди, когда
существует почти периодическая функция <р на плоско-о*и F* такая, что
f<x)~<f<x,x2) для всех же Я.
163
Доказательство. Рассмотрим произвольную почти периодическую функцию <р на
плоскости F2 и определим на прямой F функцию / формулой
¦f(x) в "р<", яе2) (агеЯ).
Тогда для любого положительного g существует тригонометрический полином Q
от двух переменных х,у, такой, что
j ?-<?!", ** sup \у(х,у)- Q<x,y)\ < s.
(Хфея1
Пусть Р(ас)в<ЗСзс,лг2) (зсеР). Очевидно, что Р является
тригонометрическим полиномом второй степени и
Я/-*!"" sup \f<xy-P(x)\ 4 | <f - б Цм < е,
*CR
повтому функцию f можно с любой точностью равномерно аппроксимировать
тригонометрическими полиномами второй степени. Следовательно, / - почти
периодическая функция Бора - Френеля.
Рассмотрим теперь произвольную почти периодическую функцию Бора -
*5ренаяя f на прямой К. Есла зафиксировать некоторый базис Хамеля для JR
над полем рациональных чисел Q, то любой тригонометрический полином
второй степени Р можно представить в виде
Р<х) " Р(<^*>" (леК),
Л
где Р - некоторый алгебраический полином от r+s переменных <z,u>)-
<Zj,...,zrfw^,..., ws) и непрерывные гомоморфизмы
: Р-*ТГ и с|>г.'Н-*Т* имеют плотный образ в Тг и Ts соответственно, при
втом непрерывное отображение <jr.F-"Tr+s, заданное соотношением
cjH*)<j>2(*2)) (*eR),
также будет иметь, плотный образ в Т14*. Отсюда вытекает, что для
тригонометрического полинома Q от двух переменных:
Q<x,y) * P(cj>j<*), ((х,у)е№)
имеем
164
14.
"<SU?l"* \ Q<x,x*)\ * sug|PCac)| ¦ ЦР||Ж .
Таким образом, если J\,Рг,.., - последовательность тригонометрических
полиномов второй степени, равномерно аппроксимирующая функцию /, то при
п,т - <ю, поэтому
для соответствующей последовательности тригонометри-
ческих полиномов от двух переменных:
Л
V*.y> mPn<Wx>' Ъ(УЯ "хфеЯгУ
имеем
1вл-""|" в <*."-'*>•
Следовательно, существует почти периодическая функция <р от двух
переменных, такая, что |Фл"<р|а"'*'0 при л-го. В то же время из
соотношений
Рл<х)явя<х,х*) <Х€Я;
мы получаем в пределе при п~*со формулу ftx)~iy{x,x2), справедливую для
любых хеЯ, что доказывает теорему.
Теперь рассмотрим один пример.
Пример. Пусть
" 1, если ас€<0,1),
f(X) ¦" ^ если жеЯ\<0,1).
Докажем, что f есть рекуррентная функция на R. Действительно, для каждого
хе(0,1> рассмотрим относительно плотное подмножество Л(л) = 25-х*={л-
авг"е2!|. Тогда для любого i-n-xeA<x)
f(x+i> *f<n) ш e2ftin = I •f(x).
Ксли же xf?(Q,l),TO в качестве Л<х) можно взять относительно плотное
подмножество \птеZ, л^-?<ае)|, где Е(Х)~целая часть числа х. Тогда для
любого ?*леЛ(аг) имеем x+i*oc+n$ (0,1), поэтому
л - 2%Ux+ti) г %ix ?
165
Таким odpasou, для любого хеЯ подмножество Л(х) относительно плотно на
прямой, для любых жсВ и
1*1(х)жЛ(х), поэтому функция f рекуррентна.
Однако функция / не является боровской почти периодической функцией. В
самом деле, предположим, что / - почти периодическая функция на Л, и
возьмем Е *¦ I. Тогда существует относительно плотное подмножество Л-
Л<1), такое, что для всех ассЯ и выполняется неравенство |/(ас+1)-/(*))
< 1.
Пусть Jfj = 0 и я2= 1/2. Тогда /щдля любого t *Л одновременно выполняются
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 82 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама