Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Осипов В.Ф. -> "Почти периодические функции Бора-Френеля" -> 48

Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.

Осипов В.Ф. Почти периодические функции Бора-Френеля — Санкт-Петербург, 1992. — 312 c.
ISBN 5-288-00758-6
Скачать (прямая ссылка): pochtipereodicheskiefunkciiborafedelya1993.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 82 >> Следующая

пусть f *(></) - соответствующий изоморфизм С им Г. Вычислим
преобразование Фурье для j:
8<vm >/<*><**'
Но крайней мере формально
• <-*, i >У^>5в<-*" tf-f1 -fl )•
Следовательно,
ft) (U*h
187
Полагая в последнем равенстве f получаем соотношение т.е.
Но тогда с помощью формулы обращения для преобразования Фурье имеем
f<x>m§T<x,pg<pdl Bgm$T<x,j>fi~f1t)~sdj =
поэтому Jg(0)j2 и тем самым g(0)=x<f> j"^2"
где T(f) - некоторое комплексное число, по абсолстной величине равное
единице.
Таким образом,
?<*>-*</> fj^j"/(-f*#>-1-
Чтобы обосновать приведенные формальные вычисления преобразования Фурье
для характера второй степени, необходимо воспользоваться теорией
обобщенных функций на произвольных локально-компактных коммутативных
группах. Для этого на G необходи- . мо выделить "пространство бесконечно
дифференцируемых быстро убывающих функций" *&(€) и определить умеренные
обобщенные функции как линейные непрерывные функционалы на пространстве
Шварца - Брюа 4HG), снабженном йодходящей топологией. Тогда рассмотренное
здесь преобразование Фурье для характера второй степени следует понимать
в смысле соответствующей теории преобразования Фурье умеренных обобщенных
функций на группе G.
На деталях останавливаться не будем.
Теперь перейдем к вычислению композиции сплетающих операторов ^21 • F32>
F1S 5
188
f>W)- <*, f+f *> J7*)<j5(-x)dx " Аф,
я1б^^($е<х' i~^+^x^f<x^("'x>dx)di.
Преобразуем внутренний интеграл 5* <аг'**"?1 + ?х>?(*)§<-х)Лхш^<-х, j-ft-
fx)^(-x)§(х)dx=
e5e<-*. t>f(x)§(x)dx.
Тогда с помощью равенства
Ф(х) Fix) <-л\^>оГх *" §тФ<рГ<и~ 1 > d$"
легко следующего из формула Парсеваля, получаем, что
Следовательно,

я Щ1 ') f < i * ?') Sif') d$ 'a
¦^' i(0,f <f + 0)а'даг>
Таким образом, доказано, что композиция сплетающих операторов
ГПвГКиГмтЩ idLHГГ
Так как • JJ2, последнее соотношение можно записать в следующем виде:
г "у ш IttX F
М3 32 9IfT 12
Кроме того, f(x) <x,fx>m /(-х), поэтому из интегральной формулы для
сплетающего оператора вытекает, что
<J3aYW*ie <*, f >/<-*> <*><**"
<F324* * <f <~x><-i )•
Следовательно,
< * & f(W"f)(g- ff)4t -
=§ef< i Hf(-x VKf<-*> f m)AH*j')df'-
190
В результате получаем, что
*'> flfT$ Ф •/<-?"*# )*</<-*> <р 4*Щ*ф
или в символической форме
* (f<~f4 )*)•?• (/('-*) •),
где F - оператор преобразования Фурье, {/(-f-1^)*) - оператор овертки с
функцией а (/С-*)*)- оператор умножения на
ФУНКЦИЮ
Если обозначить
<f (/, J?) -1(¦?• <f<~*) •)) <f ф ¦ ? <- *.f > /<-*) f <*Ы* >
VO последнее равенство можно записать в виде
т<i VlfTf(i) mf<~ f_1f> * Ttf *¦>•
ГЯв f A
* If I $ef(~*> T-1*>dx" If lie f<*> f<f*i+ f1*>dx
Таким образом, функция получается из функции
f) с помощью интегрального преобразования
$<$)- *f/)VffT$e/<*>$</.*+ ?*><**.
Для этого интегрального преобразования теперь получим форму ду обращения*
Ясно, что формула обращения прямо вытекает из соотношения
х<Я*17Г</<-*)•).
•оли известен обратный оператор ( Jf (-{>"*$ )*Г*:
Другими словами, достаточно решить уравнение в свертках X f))e &
1М.
Докажем, что является решением этого уравнения. Действительно, для
$еГ и имеем
m\ft\<h№'w-*+Wm |?|$e P?>rff'-
e If 1%).
поэтому __________
"<f) -
Таким образам,
(/(-f1!)*)"1- щ (f<f откуда следует, что
ЯЩ f*Wm T $ <<- f? )rf? •
В результате доказано, что
f </,*> - f<1 - ?*> <"•
Наконец, из формулы обращения Для преобразования Фурье следует, "то
/ <-* > < *, f ^ f ,
поэтому для интегрального преобразования
Т* ^ ^ "ie <- **# >/(-*> *><**
справедлива формула обращения
<{><*). f(-x) jr<X'j>f<f, j)Jj>
192.
В дальнейшем интегральное преобразование
<1еХг(<!),1еГ) будем называть преобразованием Фурье - Френеля функции
Теорема 21. Пусть f - произвольный невырожденный характер второй степени
на локально-компактной коммутативной групие G и ^: G -> Г - изоморфизм,
ассоциированный с f. Тогда для преобразования Фурье - Френеля справедлива
следующая формула обращения:
= /('-*) <X,i >(?></, <X?G).
Кроме того, преобразования Фурье и Фурье - Френеля связаны между собой
интегральными соотношениями
fф = §GS<x>ttf.f + ijeY),
(feX2<G),feT).
Пусть для I e G и для функции <j\ заданной на груше б,
<|>| обозначает сдвиг функции (|> на элемент I; <yix-l).
Тогда А
<Ч"г)Лф - <-*, >,
т.е. операция сдвига преобразованием Фурье превращается в операцию
умножения на характер. В то же время прямым вычислением "игко убедиться в
том, что преобразование Фурье - Френеля переводит сдвиг в более сложную
операцию:
которая в случае, когда f = 1, совпадает с операцией умножении на
характер.
Теперь введем операцию "обобщенного сдвига" Ц</) так, чтобы для любой
функции tj>?L*(G) выполнялось соотношение
W/xpW/.f) *<-*' f> f</•*>•
1S3
Рассмотрим гомоморфизм а: & -*-Л<<5), для которого cut)-it, ft, f<l))
(teC).
Тогда для функции "pel2(б) и для представления W2 группы Гейзенберга A(G)
имеем
"/(?)< -x,fl > yix-l),
а для функции у е Х2<Г) и для представления W, построенного с помощью
характера второй степени f,
-fdxlj
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 82 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама