|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  т.е. #("(?)) действует на 1г(Г) как оператор умножения на характер. Рассмотрим также оператор JV,:I2(6)-*- 12<б), сплетающий представления и V: Т32 . Для любой функции (j>"L4G) <$<"<Ъ) • Тп) уф - < t, f >(Г"уЩ) - < t, i ><f if, - ?>, где(*u'w2<*<*"> f <i) - *"<|>Kf)• <FKhHj)m h(J,-i), Следовательно, Теперь оператор обобщенного сдвига Uj</> определим формулой (Ul<f)iyHx)*f<-x)<f<l-x)y<x-i). Ясно, что при / ¦ 1 справедливо соотношение Ut(f) * Tj, где Y?(*) ~ обычный сдвиг функции (f> на элемент!. Кроме того, в случае произвольного характера второй степени / оператор обобщенного сдвига Ц(/) можно записать в следующей форме: Vf<f) *</<-*) - Г1 • Tf •</<-*)•), 194 где (j(-x)>) есть оператор умножения на функцию /<'-*). Таким образом, доказано, что Другими словами, преобразование Фурье - Френеля оператор обобщенного сдвига Uj(f) преобразует в оператор умножения на характер В заключение этого параграфа сделаем несколько замечаний относительно преобразования Фурье - Френеля в случае, когдаf-ироиэвольный характер второй степени на группе б. Тогда симметричный гомоморфизм р:б-*Г, ассоциированный с / в том омыеле, что S<*+y) - <*,fy> для любых х,уе€, не является, вообще говоря, изоморфизмом Q на Г. Рассмотрим замкнутую подгруппу Очевидно, что для любых х€й и у€ Н справедливо равенство J<*+y) = > f<x)f<y), в частности сужение / к подгруппе Н является характером на Я. Обозначим этот характер через fg :/(*)• <х, А.> (хеН). Тогда для любых are С и уеН имеем равенство f<x+y)~f(x) <у, fe>. Известно, что каждый непрерывный харак-тнр на подгруппе Н можно продолжить до непрерывного характера ш: G. Рассмотрим какое-нибудь продолжение на G характера ^ и обозначим его снова через fa. Пусть - характер вто- рой отепени на С, связанный с f соотношением Я*> (*"">• Тогда имеем где - характер второй степени на б, равный едгшхе на подгруппе Л, а гомоморфизм р *б-*Т, ассоциированный с оовпадает с гомоморфизмом р. Рассмотрим анкулятор f€ Г * бА; <flc, * 1 для любого ЯШЯ|. Ясно, что Я1 есть замкнутая подгруппа группн хара.чте-роп T*GA при эт*'? *ожно отождествить IS5 Hx-(G/H)a, Г/Яа ~ha, так как Н1, Г/ЯА канонически изоморфны и гомеоморфны груп-пам характеров для G/Я, Я соответственно. Для любых хв в и 1еН справедливо равенство f0(x+i)= = т*е* jfl • функция на С, постоянная на каждом клас- се смежности х*х+Н группы С относительно подгруппы Я, поэтому можно рассматривать как функцию на фактор-группе G/H, полагая f0(x) для любого х*х+Н eG/H. Ясно, что J^iG/H -* Т есть характер второй степени на G/Н, а соответствующий ему гомоморфизм G/Н -*Н1 = (G/H)A определяется формулой fyfi) * f ft*) (xeG) и является изоморфизмом G/Н в Я1, так как Я = Кег^, Заметим, что изоморфизм не является в общем случае изоморфизмом G/И на Я1, а его образ ^(G/H)~ <p(G) есть подгруппа в Я1, но эта подгруппа не обязан, быть замкнутой подгруппой в Н1. Действительно, пусть б(r)Z и f - характер второй степени на 2? заданный формулой /{л) в e%i"2u> (л ?2). Так как f(n+m)*j(n)f()n)ei,iinm<0, гомоморфизм :Z -*Т = Z4, ассоциированный с характером второй степени f, определяется соотношением у(т) " e7*imuy (лгеХ). Очевидно, что можно считать без ограничения общности, что 0 4 4 ш < !• Рассмотрим сначала случай, когда ш - положительное рациональное число. В этом случае представим ш в виде о>= где взаимно-простые натуральные числа. Тогда Я" = Кег ^ Z * {Z } и фактор-группа в/Я *Z/^Z) есть конечная группа с групповой операцией сложе- ния по модулю Следовательно, ее группа характеров (<*/Я)д* * Н1 - подгруппа мультипликативной группы Т, состоящая из всех корней степени из 1 ; ЯА*}2еТ: при этом 196 гомоморфизм : Z/tyZ) -+НХ задается соотношением р0(п)*е,*,яш (л ¦ О, I,, y-i) и является изоморфизмом € /Я на Я1. Теперь предположим, что о - иррациональное число* Тогда гомоморфизм ^: Z -*Т, ассоциированный с /, есть изоморфизм и Я-Kerp* (0{. Кроме того, так как дробные части образуют последовательность, равномерно распределенную на ин-•гириале (0,1), образ группы % при изоморфизме ^ является плотной подгруппой окружности Т. В то же время f<Z> *Т. Рассмотрим снова общую ситуацию и предположим, что ^ является изоморфизмом G/H на Я1, т.е, характер второй степени fq на группе GIH является невырожденным характером второй степени. Предположим, что на G, Я и G/H выбраны меры Хаара т# тн й 371 $1н' пУоть для xeG снова х**х+Н обозначает ичпсс смежности относительно Я, содержащий элемент х, Тогда для любой непрерывной на G функции Г,; имеющей компактный носитель , интеграл j no меняется при замене х на x + Iq при любом ??Я, т.е. этот интеграл является функцией, постоянной на каждом классе смежной ти для G относительно подгруппы Я, поэтому его можно рас-пмитривать как функцию на фактор-группе G/H. Считаем, что ме-|ih хппра на б,Я и G/И выбраны так, что выполняется равен- тип ^<Ытв<х)-^ш(^иГ<х*1Ытит)Лтю<?> дли любой непрерывной функции Г с компактным носителем. Тогда для преобразования Фурье - Френеля функции <|> имеем
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
