|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  197 На б *Г рассмотрим функцию (r), определенную формулой в(Л>i> *§м <"Ъ 1 > f <*+ *>^ти(Ь - неполное преобразование Фурье функции ip. Очевидно, что при этом полезно заметить, что для каждого *сГ функция х + -* < - хг, f > 0 (ос, ^ ) является постоянной функцией на каждом классе смежности я+Л, поэтому ее можно рассматривать как функцию на фактор- группе 6/Я, тем самым правая часть последнего равенства хорошо определена. Кроме того, из определения Функции 0 получаем, что для любых уеН и х*Нх в<*+у, #+**)" <у, ?>#<**#)• В частности, для любого теН1 справедливо равенство 0<tf, f+-t) " в<лг,^>, поэтому для каждого лг функция f -* в(х,$) является постоянной на каждом классе смежности f+Я* группы Г относительно подгруппы Нх. Следовательно, соотношением <$-?+ям определяем в ¦ как функцию на <?*(Г/ЯА). В то же время справедливо равенство 9<x+yf$)*<уЛ>в(х, f > Для любого ус#, поэтому j) ¦ >•<*./) - услолче полуинвариантности функции 0 относительно сдвигов на элементы из подгруппы Я, Пусть f + ^0 и ^ + ЯА, Тогда с помощью Функ- ции 0 можно записать преобразование Фурье - Френеля функции <j) в виде §<f,i у* /0. i t) - /0<- *) <- *, it > в <*, ?,) <г"в/н (ж". Таким образом, при фиксированном ^ ч для любого *сЯА юл;'часу, что $</o> U+x)~hiH <'*'t Так как <-<л+!), т>-<-*,*><-*, т >" <-ас, г > адя каждого ??Я, т.е. <- х,т>, как функция переменной хеG, является функцией, постоянной на каждом классе смежности группй О относительно замкнутой подгруппы Я, считаем, что <-*, т >"<-*, т> для любого arc G, где ? = х + Я. Следовательно, т +т >ж 5"/h /в <-*> *т> ?<*><%, <*> - где "ре") = > 0(*, ^j), поэтому при фиксированном ^ Я для любого х € Н± ftfo' Ь+х> } - преобразование Фурье - Френеля функция <р на группе й/К. Однако предполагаем, что /^гб/Я-Т есть невырожденный характер второй степени. Тогда сцраведлива формула обращения f <&> dmHx<x)• ---- Л Д Г)4тм1(г), (c)?куда получаем, что в(аФЧ<-*> $"!< *'ti+X>f<jo>tl+t}dmH*<rl Теперь воспользуемся формулой обращения для: неполного преобразования Фурье Vx+i> l'ii> *<*>Ь<*тт/нА'" lib - f9<-<*+l" ? <*+*,#,> $ <Se dmr < fc >" поэтому -fW 5r<*, ifi0> f ? <*.*> f </", $*№ e < *.f> f <S'1) dj- Таким образом, имеет место формула обращения для преобразования Фурье - Френеля: <*.#>$</•#>*? (xeGh Кроме того, воспользуемся интегральными преобразованиями, овязывающими преобразования Фурье и Фурье - Френеля на группе е/Л; V f > - Щ>-Щ 5да Л<*>г%, i+h*) f Set >-¦'"A'vfw $фЛ<*> fЧ-ьЬ'Ь'ф1*'- где преобразования Фурье и Фурье - Френеля функции <р на G/H определены формулами f(*) " 5е/" <"*• * > ?<*>*""ы<*> < 1ен±>• * *>"5"|м >/0^*) f<*>*"""<*> а |fy|- модуль изоморфизма ^;б/Я -¦Я-1, ассоциированного с невырожденным характером второй степени : G/H -* Т. Следовательно, если зафиксируем ?j€r и положим <f<*)* < - X, > 9 {х, Jj) * ^ ft > cp<3f+1) dmHd), 200 vo о помощью очевидных преобразований получим а<- s ieK"x' й+** ><t*w + - преобразование Фурье на группе С для функции вычисленное и точке jj + $ е Г. Аналогичным образом получаем для указанного вы бора функции <р' на группе б/Я; - $т( jH <-*-*.&+* >Л<-<*+г,) тг ш §с <-*' fi + ? V#' й + #) - преобразование Фурье - Френеля на группе в для функции <р, ММЯСленное в точке ] + j с Г. Тогда f i,+i> • ЧбШ f < Ji- i,- О- i".*'3' f ъ * * -1>* "'""к<*>¦ Так как здесь можно считать, что -j вот произвольный элемент группы Г, и Где - произвольный непрерывный характер на группе А, такой, что /IWoU t то для любого f еГ находим ссотноше- МИ'1 201 f <f>1)- x<SJi\U f6<*> Y<#+fo-fo*>*W*>- В результате доказана следующая теорема. Теорема 22. Пусть / - произвольный характер второй степени на группе б. Тогда для преобразования Фурье - Френеля *^ <¦**"!?>/(-*) <f<x)dx (#сГ) справедлива формула обращения - JF <-х) |r <x,j > $ (f,j) d-j (хев). Кроме того, если р : б -> Г - гомоморфизм, ассоциированный с f, Н - Кег ? и характер второй степени f на факторгруппе ff/Я, заданный соотношением " Ъ(х> mf<x*<~x'h> (X'X+HeCjH), где такой непрерывный характер на группе й, что/|н = $0|н, является невырожденным характером второй степени на ff/H, т.е. ассоциированный с $ гомоморфизм ^; G/H -*¦ HL =(G/H)A является изоморфизмом <?/# на Я1, то преобразования Фурье и Фурье -Френеля функции <j> связаны между собой следующими интегральными преобразованиями: 'с</о)уШ5в/н<ЯС'^>^^ Наконец, пусть J - произвольный характер второй степени на локально- компактной коммутативной группе б и UjfJ)- оператор обобщенного сдвига на элемент I ? б: <иг($>уНх>-f(-x)f<l-x)y(x-l) <*?"). Так как для любого 1еН "Кегр получаем, чтс " поэтому оператор обобщенного сдвига отличается от оператора обычного сдвига на элемент 1еН множителем < I, fo>: (Щ<лf )(*> т < г> 5?0 > f(*~iЬ Следовательно, т.о. оператор обычного сдвига на элемент преобразова- нном Фурье - Френеля переводится в оператор умножения на харак- (tm)р i + io- § 5. Почти периодические функции Бора - Френеля на локально-компактной
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
