Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Осипов В.Ф. -> "Почти периодические функции Бора-Френеля" -> 51

Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.

Осипов В.Ф. Почти периодические функции Бора-Френеля — Санкт-Петербург, 1992. — 312 c.
ISBN 5-288-00758-6
Скачать (прямая ссылка): pochtipereodicheskiefunkciiborafedelya1993.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 82 >> Следующая

коммутативной группе
В этом параграфе сначала излагаем основные понятия из теории почти
периодических функций на произвольной локально-ком-пактной коммутативной
группе.
Пусть С - локально-компактная коммутативная группа, Сл=
* Г - группа непрерывных характеров на G. Рассмотрим 1^ - группу Г,
снабженную дискретной топологией. Тогда б$в<Г^)л- компактная
коммутативная группа. Заметим, что тождественное отображение есть
непрерывный изоморфизм на Г, по-
этому сопряженный гомоморфизм ср: g -" Ch является непрерывным
изоморфизмом в Съ, для которого в Компактная группа называется воровской
б. Так как
<|> - изоморфизм, G можно рассматривать в качестве плотной
подгруппы группы Gbi отождествляя хев с его образом <у(х), поэтому в
самом деле есть компактификация для G, Однако (j> не есть, вообще говоря,
гомеоморфизм и G не являетсд локальное омпактным подмножеством компактной
группы Отметим также, что в случае компактной группы б ее группа
непрерывных характеров Г дискретна, поэтому Г^*Г и б$*б.
Боровская компактификация €ь локально-компактной коммутативной группы G
обладает следующим универсальным свойством:
*03
если : б -Я - непрерывный гомоморфизм в компактную коммутативную группу
Я, то существует единственный непрерывный гомоморфизм такой, что
<р&{^(/лг" ¦ ^(х) для
любого Х€б.
Другими словами, любой непрерывный гомоморфизм в произвольную компактную
коммутативную группу Я можно продолжить до непрерывного гомоморфизма
боровской компактификации G^ в Я.
В частности, отсюда вытекает, что каждый характер $:<*-+
-*Т допускает продолжение до непрерывного характера на бо-
ровской компактификадии б^.
Далее, напомним, что тригонометрическим полиномом на группе й называется
функция вида л
Т<Х> - J Ыл<*> <Х€й),
где Cj, <2,..., сл - произвольные комплексные числа, a jfy,
$2* * * • * in ~ непрерывные характеры на б. Очевидно, что множество всех
тригонометрических полиномов на группе б замкнуто относительно поточечных
алгебраических операций и тем самым является подалгеброй банаховой
алгебры всех комплекснозначных непрерывных и ограниченных функций на С,
Эта подалгебра разделяет точки группы С, так как уже характеры обладают
этим свойством.
Определение" Комплекснозначная функция f на груше 6 называется почти
периодической на б, если она равномерно аппроксимируется на G
тригонометрическими полиномами, т.е. существует последовательность
тригонометрических полиномов Tv Г*,..., такая, что ка б.
Почти периодические функции на б необходимо ограничены и непрерывны на
группе б и образуют замкнутую подалгебру банаховой алгебры всех
колгтакйкоэначйых ограниченных и непрерывных функций на б, разделяющую
точки группы б и замкнутую относительно операции комплексного сопряжения.
Ясно, что в случае компактной б она совпадает с С<С). Следовательно,
каждая непрерывная функция на компактной группе является почтя
периодической.
204
Как уже отмечалось, непрерывные характеры на 6 допускают непрерывное
продолжение на боровскую компактификацию В результате все
тригонометрические полиномы непрерывно продолжаются на <??, Точнее, для
кавдого тригонометрического полинома Г существует непрерывная на Gh
функция Ть, такая, что Ть<у{х)) " 7(х) для всех xeG. Так как плотно в
fy,
имеем
I г>1" - 5UP I ть<ЦЦш sup |7ь(шш)| = sup | Т(Х)\ - К 7\м.
*?в Я€С
Рассмотрим почти периодическую фикцию f на С. Пусть T/t ~*f. Тогда Ц Тл -
- 0 при л,я" -оо, поэтому для неотрывных продолжений полиномов
(7п)ь получаем, что ~
" при Л,ж-*-", т.е. l<3k)b- фундамен-
ТйлЪная последовательность в банаховой алгебре €(6$). Следова-•голыш,
существует ge для которой (Тп)^ на €bf
при чтом g(iy<x)) =* fix) для всех xeG. Таким образом, каждом почти
периодическая функция на G допускает непрерывное продолжение на
Вместе с тем непрерывные продолжения на Gj> тригонометрических полиномов
разделяют точки группы <fy, так как уже непрерывные продолжения
характеров ^сГ разделяют точки группы и - компактная группа* В силу
теоремы Стона - Вей-•рштрасса множество непрерывных продолжений вевх
тригонометрических полиномов образует плотное множество в банаховой
алгеб-РФ C(Gbh Таким образом, для любой geC<C^) существует по-
олодовательность Tt,Tz,... тригонометрических полиномов на Ац, такая, что
(Tn)j, =tg на бь и тем самым для функции f и" С, заданной соотношением
f(x)"g(y(x)) (xeG), получаем, что Тп =*/ на 6. Тогда "сужение" функции g
на ? есть почтя периодическая функция j. Это доказывает следующую
теорему.
Теорема 23. Комплекснозначная функция на С является почти периодической
функцией тогда и только тогда, когда она допускает продолжение до
непрерывной функции на боровскую ком-пмтификацию Сь группы С.
Теперь возьмем произвольную комплекснозначную непрерывную функцию g на
Gfr. Так как - компактная группе, g - равно-
205
мерно-непрерывная функция на G^ Следовательно, для любого положительного
е существует открытая окрестность V точки о в такая, что для всех х,у ?
Gb с y-xeV справедливо неравенство \g<y)~g<*)\ <?• Но из плотности с|>(€)
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 82 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама