|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  коммутативной группе В этом параграфе сначала излагаем основные понятия из теории почти периодических функций на произвольной локально-ком-пактной коммутативной группе. Пусть С - локально-компактная коммутативная группа, Сл= * Г - группа непрерывных характеров на G. Рассмотрим 1^ - группу Г, снабженную дискретной топологией. Тогда б$в<Г^)л- компактная коммутативная группа. Заметим, что тождественное отображение есть непрерывный изоморфизм на Г, по- этому сопряженный гомоморфизм ср: g -" Ch является непрерывным изоморфизмом в Съ, для которого в Компактная группа называется воровской б. Так как <|> - изоморфизм, G можно рассматривать в качестве плотной подгруппы группы Gbi отождествляя хев с его образом <у(х), поэтому в самом деле есть компактификация для G, Однако (j> не есть, вообще говоря, гомеоморфизм и G не являетсд локальное омпактным подмножеством компактной группы Отметим также, что в случае компактной группы б ее группа непрерывных характеров Г дискретна, поэтому Г^*Г и б$*б. Боровская компактификация €ь локально-компактной коммутативной группы G обладает следующим универсальным свойством: *03 если : б -Я - непрерывный гомоморфизм в компактную коммутативную группу Я, то существует единственный непрерывный гомоморфизм такой, что <р&{^(/лг" ¦ ^(х) для любого Х€б. Другими словами, любой непрерывный гомоморфизм в произвольную компактную коммутативную группу Я можно продолжить до непрерывного гомоморфизма боровской компактификации G^ в Я. В частности, отсюда вытекает, что каждый характер $:<*-+ -*Т допускает продолжение до непрерывного характера на бо- ровской компактификадии б^. Далее, напомним, что тригонометрическим полиномом на группе й называется функция вида л Т<Х> - J Ыл<*> <Х€й), где Cj, <2,..., сл - произвольные комплексные числа, a jfy, $2* * * • * in ~ непрерывные характеры на б. Очевидно, что множество всех тригонометрических полиномов на группе б замкнуто относительно поточечных алгебраических операций и тем самым является подалгеброй банаховой алгебры всех комплекснозначных непрерывных и ограниченных функций на С, Эта подалгебра разделяет точки группы С, так как уже характеры обладают этим свойством. Определение" Комплекснозначная функция f на груше 6 называется почти периодической на б, если она равномерно аппроксимируется на G тригонометрическими полиномами, т.е. существует последовательность тригонометрических полиномов Tv Г*,..., такая, что ка б. Почти периодические функции на б необходимо ограничены и непрерывны на группе б и образуют замкнутую подалгебру банаховой алгебры всех колгтакйкоэначйых ограниченных и непрерывных функций на б, разделяющую точки группы б и замкнутую относительно операции комплексного сопряжения. Ясно, что в случае компактной б она совпадает с С<С). Следовательно, каждая непрерывная функция на компактной группе является почтя периодической. 204 Как уже отмечалось, непрерывные характеры на 6 допускают непрерывное продолжение на боровскую компактификацию В результате все тригонометрические полиномы непрерывно продолжаются на <??, Точнее, для кавдого тригонометрического полинома Г существует непрерывная на Gh функция Ть, такая, что Ть<у{х)) " 7(х) для всех xeG. Так как плотно в fy, имеем I г>1" - 5UP I ть<ЦЦш sup |7ь(шш)| = sup | Т(Х)\ - К 7\м. *?в Я€С Рассмотрим почти периодическую фикцию f на С. Пусть T/t ~*f. Тогда Ц Тл - - 0 при л,я" -оо, поэтому для неотрывных продолжений полиномов (7п)ь получаем, что ~ " при Л,ж-*-", т.е. l<3k)b- фундамен- ТйлЪная последовательность в банаховой алгебре €(6$). Следова-•голыш, существует ge для которой (Тп)^ на €bf при чтом g(iy<x)) =* fix) для всех xeG. Таким образом, каждом почти периодическая функция на G допускает непрерывное продолжение на Вместе с тем непрерывные продолжения на Gj> тригонометрических полиномов разделяют точки группы <fy, так как уже непрерывные продолжения характеров ^сГ разделяют точки группы и - компактная группа* В силу теоремы Стона - Вей-•рштрасса множество непрерывных продолжений вевх тригонометрических полиномов образует плотное множество в банаховой алгеб-РФ C(Gbh Таким образом, для любой geC<C^) существует по- олодовательность Tt,Tz,... тригонометрических полиномов на Ац, такая, что (Tn)j, =tg на бь и тем самым для функции f и" С, заданной соотношением f(x)"g(y(x)) (xeG), получаем, что Тп =*/ на 6. Тогда "сужение" функции g на ? есть почтя периодическая функция j. Это доказывает следующую теорему. Теорема 23. Комплекснозначная функция на С является почти периодической функцией тогда и только тогда, когда она допускает продолжение до непрерывной функции на боровскую ком-пмтификацию Сь группы С. Теперь возьмем произвольную комплекснозначную непрерывную функцию g на Gfr. Так как - компактная группе, g - равно- 205 мерно-непрерывная функция на G^ Следовательно, для любого положительного е существует открытая окрестность V точки о в такая, что для всех х,у ? Gb с y-xeV справедливо неравенство \g<y)~g<*)\ <?• Но из плотности с|>(€)
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
