Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Сидельковская Ф.П. "Химия N-вннилпирролидона и его полимеров" ()

Райт П. "Полиуретановые эластомеры" (Высокомолекулярная химия)

Сеидов Н.М. "Новые синтетические каучуки на основе этилена и олефинов" (Высокомолекулярная химия)

Поляков А.В "Полиэтилен высокого давления. Научно-технические основы промышленного синтеза" (Высокомолекулярная химия)

Попова Л.А. "Производство карбамидного утеплителя заливочного типа" (Высокомолекулярная химия)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Физическая химия -> Осипов В.Ф. -> "Почти периодические функции Бора-Френеля" -> 54

Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.

Осипов В.Ф. Почти периодические функции Бора-Френеля — Санкт-Петербург, 1992. — 312 c.
ISBN 5-288-00758-6
Скачать (прямая ссылка): pochtipereodicheskiefunkciiborafedelya1993.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 82 >> Следующая

коммутативной группе б с бесконечным спектром Л = = J. Обозначим
и рассмотрим ряд Бо-
ра - Фурье функции f :
СО
f<*)~ 21 an<x'in> ixeG).
П-i ^
Предположим, что bvot ряд сходится абсолютно, т*е* 2**1 \ ап\ ^
< ¦+ со. Ясно, что тогда ряд Бора - Фурье сходится равномерно на С к
некоторой почти периодической функции g, а его продолжение на боровскую
компактификацию 0^ также сходится равномерно tia к непоерывной функции
gb. Кроме того, на компактной группе последний ряд можно почленно
проинтегрировать:
-f , v f , (0, если НА,
если ^ и (*-1,2,...).
Следовательно, -М^л?)вЛй и для ?еГ\Д, поэтому
для всех ^сГ и тем самим т.е.
. Таким образом, абсолютно сходящийся ряд Бора - Фурье сходится
равномерно и для всех oceG
оо
Пш\
Пусть теперь / - произвольная почти периодическая функция с бесконечным
спектром. A*={^, ^... J и - ее непрерывное продолжение на Так как Vj -
компактная группа, -равномерно-непрерывная функция на й^4
Лешш. Для любого е>0 существует окрестность W точки
О в такая, что
'Л4
I/"-Л *?!.<"
для любой неотрицательной борелевской функции <р на G^, равной нулю вне W
и такой, что ^ 1.
Доказательство. Рассмотрим произвольное положительное число е. Из
равномерной непрепывности функции на вытекает, что существует окрестность
W точки о в такая, что \fb<y') для любых y',yneG^, которые удов-
летворяют условию у'-у"е W.
Пусть <|> - произвольная борелевская функция на , такая, что <р>0 всюду
на б^, <р"0 вне W и §^iy)dm<y) = t.
Тогда
ftW- tfb*} -dm<i)-

if Следовательно, для любого уй имеем
[SbW'^b*f^l * <1)<*т(*)-е^гё)Ля(*)-е,
поэтому ~?>*Т i # 4 е, что доказывает лемму.
Пользуясь леммой, для любого е>0 рассмотрим соответствующую окрестность
W, а вместе с ней рассмотрим симметричную окрестность V точки о в такую,
что V-VcW.
Пусть g¦ j^yy fiyi где $у- характеристическая функция множества V*. Тогда
<|> - непрерывная положительно
определенная функция на причем легко показать, что функции удовлетворяет
условиям леммы, поэтому справедливо пера-
Ьенотво
Пусть (fa* f )(<j>'(x)) (Х€й) есть сужение функии:*
* <р на- в, Тогда Л - почти периодическая функция н" <?, а ее ряд,
Бора - Фурье
сходится абсолютно, так как |бл|<||/в", т.е. { "л
ограниченная последовательность, а ф является суммируемой функцией на
дискретной группе , В результате почти периодическую функцию Н можно
равномерно на G с любой точностью аппроксимировать частными суммами ее
ряда Бора - Фурье.
Таким образом, доказано, что почти периодическую функцию f на б можно с
любой точностью равномерно аппроксимировать функциями h при подходящем
выборе окрестности V, а функции h - частными суммами их рядов Бора -
Фурье. Следовательно, для любого $>0 существует тригонометрический
полином Р<х)~
<*.&>. юкой, что
Теорема 29. Любую почти периодическую функцию на локально-компактной
коммутативной группе можно с любой точностью равномерно аппроксимировать
тригонометрическими полиномами, составленными из характеров ее спектра.
Разумеется, что в доказательстве теоремы 29 можно было бн воспользоваться
и другим выбором аппроксимативной единицы. Например, в случае, когда f -
2гс-париодическая непрерывная функция на прямой F, часто используют ядра
фейера при образования тригонометрических полиномов, равномерио
сходящихся к исходной функции - суммирование рядов Фурье методом
среднеарифметических, а в гл.1, § 2 при аппроксимации произвольной почти
периодической функции на прямой использовались составные ядра Бох-rtepa.
Теперь переходим к изучению почти периодических функций Бора - Френеля на
локально-компактных коммутативных группах.
Рассмотпим произвольный характер второй степени j на локально-компактной
коммутативной группе б. Напомним, что соответствующий ему оператор
обобщенного сдвига на элемент teG определяется формулой
<ut<f <*ев),
или
где -*Г - непрерывный гомоморфизм, ассоциированный с
характером второй степени / в том смысле, что выполняется соотношение
--------- * < X, о и >
ДЛЯ любых X, У € й.
Пусть <j> - ограниченная и непрерывная функция на группе С. Рассмотрим
семейство всевозможных сдвигов функции
И'ЯЧ-
и пусть Г обозначает его замыкание в пространства всех ограниченных и
непрерывных функций на группе G с топологией равномерной сходимости на G,
т.е. / есть замыкание множества все-ноэможных сдвигов функции ^ по норме
М- - sup
Функция <j> называется ^-почти периодической функцией на ff, если
множество F компактно. Другими словами, функция есть ^f-почти
периодическая функция на 6, если для любого положительного числа б
существует конечный набор [oev ага,...,х$\ элементов из группы б, такой,
что для каждого ie€ существует по крайней мере один элемент из этого
набора, такой, что
I ) t**" ~ Uxk<Si*? <*>| < е
для любого X € G.
Пусть - ^-почти периодическая функция на группе С, Для любого е >0
рассмотрим конечный набор как
в определении ^f-почти периодичности. Так как функции UXi<f)^9 ux2<J)y> •
* • t )<J> неДРеРывны на б, В частности, они
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 82 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама