|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  однозначно определенного по модулю <jj,, Это позволяет нам отождествить ХуГКТкС) с группой Z/<jf,Z*C, в которой групповая операция определяется формулой <Л1,^1)(А2,ж2> * (*, где к * Aj + b2 ~ n<xit х2) ( mod <р , г24 Отображение n:G*G -Z/^Z является непрерывным гомоморфизмом по каждой переменной при фиксированной другой переменной: л(х'+ж",х2) = п(х{, хг) + щх*,хг), n(xv afg + afp* п(хj,x2) + п(хt,xs"). Очевидно, что отображение п полностью определяется симметричным гомоморфизмом у: й -¦Г, ассоциированным с характером второй о тп пени f, И П(Х^Х2)** П <Х2,Х^) ДЛЯ ЛЮбЫХ II" нинчвниям ^отображения п можно судить о том" в какой степе-НИ групповая операция в X* отличается от групповой операции в цэямом произведении где ТГ^ еоть мультипликативная Груипя всех корней степени ^ из единицы. Например, если для Никоторых xvx2eG имеем n(xvx2)a0f то Л* jfj+J^Onodtp * f<3tl)f<*2>mf<*l+X2)> П0ЭТ0МУ ¦"<•< I. мы не останавливаемся на спектральном анализе симметрична п гомоморфизма f, который можно провести в терминах отобрано пил л, и переходим к описанию пространства максимальных ИДпшшв алгебры 5(/). Пусть 6k"K"r<A^) <Jr"1,2.......<р. Тогда для каждого А "1, 1,, ср имеем включения в.с я в**в, гак как ^у " 0. Миомотрам произвольное jkffjz,..., взаимно простое о ф. Тогда существуют целые числа Jij и л2, такие, что л^+я2^*1, Оцидииательно, для каждого *?¦<** имеем у(кх)я0, поэтому ?<*)" f((nt* * "gf)x) • в " г"м самым Таким образом, доказано, что если В частности, если у~р - простое число, то 0{ " * (If * • Gjf.j и Gp• в. Дплее, пусть <^>1 - произвольное целое число, >е{2,..., •| I j наибольший общий делитель Тогда к *р^ т и f •ргт, где (pitp2)*1- В то же время существуют целые чи-<| п, и л2, такие, что п{)Если то = II, поэтому 225 y<mx) • y{minipJ+пгрг)")^ Таким образом, с Ст, Бели хе Gm, то поэтому f{kx)*f(ptmx)<"pjOimaf)*0, что доказывает обратное вклю- чение GmcGjf. Для т*(к,<}) получаем, что бд" G". Пусть У*Р1Р2• • разложение числа <f, на простые множители, среди которнх могут быть и одинаковые. Обозначим тА = х?1?2'"?к ")• Тогда I <74j <тг< ... <т6 * ^ a Wj.j \ гп? для каждого г ¦ 2.......". Тогда оправедяиш включения Cf СЯгС...С<ГЯ5-^. Докажем, что эти включения отрогае.Действительно, пусть для некоторого fcимеет место равенство Gm{l*Gmi. Тогда ^<^*)аф для любого xeGf^C я ?<<^ас)=^>(т${^, эе)), поэтому п(я * **яц" т*в* Д*€<Ц.1 в силу предположения. Получаем, что 0. В результате доказано, что для любого хеС' ^jEx)*0 я тем самым ш **¦ Отсюда вытекает, что flrlH с Г, что противоречит выбору числа у. Таким образом, инеем строгие включения €| Сл,^ Ст2? 5* Стпа * Полезно отметить, что включение GqC <I замкнутой под- группы в локально-компактную коммутативную группу € канонически приводит к включению С С^ для боровских компак- тификаций. Действительно, цусть cf обозначает непрерывный гомоморфизм вложения группы б в ее боровскую компактификацию я (j> - ограничение к подгруппе 6^. Тогда <р; есть непрерывный гомоморфизм в компактную группу С^, поэтому его можно пропустить через боровскую компактификацию 6^ грушш ^0. Другими, словами, если ^ есть непрерывный гомоморфизм вложения то существует непрерывный гомоморфизм ?ь!(r)оь такой" чт0 каждого хе Gq. Гомоморфизм можно определить явно. Для этого рас- смотрим двойственные группы Гш бл, Г# * С J. Пусть ж: Г -" Г0 226 обозначает гомоморфизм сужения непрерывных характеров на б к л"минутой подгруппе Сд. Так как каждый непрерывный характер на 60 допускает продолжение до непрерывного характера на С, гомоморфизм ос отображает Г на Г0. Пусть и ^: Г^-* -*• ТЫ есть тождественные отображения, стирающие топологию в группах Г и Г0, и пусть 0: - гомоморфизм,заданный формулой 0 * (З"*1. Тогда сопряженный гомоморфизм * 0#: 1 ияъективен, так как исходный гомоморфизм 9 отоб- ращает Tj на Наконец, в силу компактности группы ^гомоморфизм <рь есть изоморфизм и гомеоморфизм С9Ь в Су После отождествления с <р^( С^) получаем требуемое включение со>с съ- Кроме того, из соотношения ^0 * { > * 1 дая любых arc С,} вытекает, что (б/?в)д а (С?)? . Однако дая любого непрерывного характера f на груше 6 я "го непрерывного продолжения на боровокую коыпактификацию Сд равенство <х, f>-ш t справедливо для каждого ассСд тогда и только тогда, когда < X, > "1 для любого жсвоь. Следовательно, ¦ тем самым <"/",)"- сь1',ь ¦ Снова рассмотрим банахову алгебру B(j). Пусть I есть максимальный идеал алгебры B(f). Алгебра АР<й) всех почта периодических функций на в является замкнутой # -подалгеброй для Щ), поэтому максимальный идеал 1фт 1(\ЛР(С) алгебры AF(6) определяет в обычном смысле теории банаховых алгебр некоторую точку в пространстве максимальных идеалов алгебры АР<6): Um{g*AP<*>:gb<x9*m0\> где g * g^ - преобразование Гельфанда функция g в алгебре ЛР<Ъ, ' совпадающее с непрерывным продолжением функции g на (Юровскую кемпактификацию группы С. Полезно заметить, что каждый максимальный идеал 7ф алгебры АР(С) содержится по крайней к. ,ре в одном максимальном идеале
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
