|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  = ^ *1" ¦?! ^ ^ Будем говорить, что симметричный гомоморфизм ^ : С -* Г разложим, если существует нетривиальное разложение в прямую сумму замкнутых подгрупп С = (r) Сг, такое, что с Г{ и f<02)С Г2. На самом деле здесь достаточно предполагать, что выполняется одно из включений, а второе является уже следствием этого включения и симметричности гомоморфизма <?. Действительно, пусть ^<Gj) с Гг Тогда для любого хгеОг я $г = = подучаем, что для каждого *je<7j <*J,^<,ac2)>=<af2, f (*j)>* 1, так "a* f f*l> e Tj =¦ <" 2 . Следовательно, у(ж2)" = Tg для любого хге€^, что доказывает включение с Г2. Бели f - разложимый гомоморфизм и G ¦= Gj $ " разложение группы б а прямую сумму подгрупп 01 и таЕ-ое, что ^<6|)crj и ^{62)сГ2, то для любых aCjfCj я получаем, что (Ж(, )к(х2'У1е1) " *• Следовательно, /(afj+ *2> •Jf"Kilf(x2) (xteGv хг€ С2). Пусть сужения характера второй степени J к замкнутым подгруппам Gj и <"2 соответственно. Тогда - характер второй степени на 6Jt & f2 - характер второй степени на б2* Рассмотрим алгебры 23(^) и B(Jg) функций на <Jj и Gg соответственно и обозначим через Hj и #2 пространства максимальных идеалов алгебр В(fj} и B(f2). Кроме того, удобно рассматривать Hi и как подмножества Н^сХ^сТ х хС1Ь и H2cXjaCТ*б2Ь. 1 Условие разложимости характера второй степени / ; У (*( + 3fj) * , Xg ? Gg) 242 приводит к описанию пространства максимальных идеалов Н алгебры B(J) в терминах топологического произведения НХ*Н2. Б самом деле, алгебры Bifj) я B(f2) мохно рассматривать как алгебры всех непрерывных функций на компактных хаусдорфовнх пространствах Hf и соответственно. Однако ю теории тензорных произведений банаховых алгебр известно, что <:<#!> Ф С(Н2) ш С(Я,хЯ2), где слева рассматривается бицроективное тензорное произведение банаховых алгебр СЩ) и С(И2). Другими словами, совокупность всевозможных конечных сумм g(xv *2) - 2 Ьп<хО%л<*г> *г"Я2), <"> где fineC(Hj) и <г"еС(Н2), является подалгеброй в C{Ht *Н2), плотной в C(HjXffj) б топологий равномерной сходимости на топологическом произведении Очевидно, что нежно, созфа- няя плотность в C(Ht *Я2),ограничиться только такими суммами, в которых функции Ал являются непрерывными цродолкениями на Н, всевозможных тригонометрических полиномов второй степени на €Jt составленных из различных степеней характера второй степеил f{ и обычных характеров а <ря являются непрерывными продолжениями на #2 аналогичных тригонометрических полиномов второй степени на б2. Рассмотрим совокупность всевозможных тригонометрических полиномов второй степени на б, составленных из различных степеней 1,/, /г,... характера второй степени f я яз обыч- ных характеров feT*&A. Каждый такой тригонометрический полином второй степени на С имеет вид ТЧя) • Т(хj + кг) • f*<*)im<*> "fi<Xi(х^2(хг^п2^ где я есть сужения характеров к замкнутым под- группам С "2 соответственно, т.е. Пае)* V **тЬкт<*М*т<*9>> ' <*,m> где WV-y/WjVXj, и fton<*i>e/*(*4^ml<VJl0nyCKaOT непрерывное продолжение на Н1 и Я2 соответственно, поэтому Т допускает непрерывное продолжение с на HjxHj. Совокупность всевозможных таких продолжений на Н1^Яг есть я- подалгебра непрерывных функций на Я|*Я?, содержащаяся в *-подалгебре, рассмотренной выше. Отличив состоит в том,что в первоначальной подалгебре содержатся непрерывные продолжения всевозможных элементов вида fj*ft ' где ^ и m могут не- зависимо принимать значения 0,1,...,^-!, а во второй подалгебре - непрерывные продолжения только элементов вида SfWU,-т.е. ftam. Если совокупность непрерывных продолжений всевозможных функций вида разделяет точки пространства Я} *Я2, то по теореме Стона - Вейерштрасса вторая ^-подалгебра функций на HjXH2 плотна в алгебре С<Н^Н2) всех непрерывных функций на #j*#2, поэтому алгебра Bif) изометрически м -изоморфна алгебре С(Щ', = С(Н.*Нг). Следовательно, пространство максимальных идеалов алгебры Bif У есть (с точностью до гомеоморфизма) топологическое произведение Я|ХЯ2. Рассмотрим более подробно вопрос о том, разделяет ли указанная совокупность функций точки пространства х Я". Пусть (hpftg) и различные точки пространства Я^Я^. Тог- да hf"(zitae{) <i"t,2,$,4), где ХрХ3бС^ и хг,х4е6п. Тая как {h3,h4)t то или hfh$, но hti=h^. Если hfkто или х^"* но г^г^.Ъ случае, ког- да xt4x3, существует характер ?еГ|, такой, что его непрерывное продолжение на боровскую компактификацию группы <Jj разделяет точки xf и х3. Таким образом, функция I е е Bif), а ее нзпрернвное продолжение на Щ *Я2 разделяет точки (hith2) я 0*з,Я4). Аналогично, если Я2ФЬ4,то хгФх4 шш Xf> = х4, но г4. Тогда яри х2Фх4 существует характер f & Г2< такой, что h<x2* h<*iy' поэтому функция ie$?B<f), а непрерывное продолжение 1 (r) $ на Я{*Я2 разделяет точки {htrtig) и 03,/"4>. Теперь рассмотрим случай, когда *\яхъ и х2~ х4, но ила z24z4,iотя мы и не знаем, шкет ли этот слу- чай иметь место. Предположим, что Zj fZy т.е. (zf, Х^)Ф (Zj, 244 *j) Так как функции из B(ft)*B(f2\, непрерывно продолженные на
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
