|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  пактная группа. Рассмотрим произвольный характер второй степени / и ассоциированный с / симметричный гомоморфизм у: G -¦¦Г "А*'1 в Ил. Здесь Кл - дискретная группа, так как К компактна. Обозначим через ^ и сужения гомоморфизма р на замкнутые подгруппы К и F* соответственно. Кроме того, пусть <р1: Г -* Г/R71 * КА и (^2 • ^-+Г/ХЛ*ЯЛ- канонические гомоморфизмы из группы Г в соответствующие фактор-группы. Ре смотрим непрерывный гомоморфизм Так как К- компактная груша, ее образ есть компактная под- группа в R* поэтому u> <JO*{Ol. 3 то ке время для непрерывного гомоморфизма ш2" также подучаем, что Y?(F") * J О J, так как К* - связная группа, а КА - дяскрзт- 263 кая. Таким образом, доказано, что К-Х t Яя-* Ял - Х-L, т.е. симметричный гомоморф* "м ^ Г разложим. Это приводит к разложимости характера второй степени/: + Jt{ arj)/2<*2) (х^йХ, хгеЛп>, где /j и jf2 - сужения j к подгруппам Л* и В" соответственно. Но на компактной группе X каждая непрерывная функция является почти периодической. В частности, - почти периодическая функция на группе К, поэтому В(^) совпадает с алгеброй ЛР(Х)^С(К) всех непрерывных функций на К. Ее пространство максимальных идеалов с точностью до гомеоморфизма совпадает с К. Тогда пространство максимальных идеалов алгебры B<f) совпадает с топологическим произведением Л* Я, где Я - пространство максимальных идеалов алгебры функций на Кл. Кроме того, г|олу"аем, что B<f )*С(Х)ф B(J2) и тем самым АР2(С) = "с С{Х) 6 АР2 <Вл). Следовательно, пространство максимальных идеалов алгебры AP2(G) есть топологическое произведение К*Н, где Я - пространство максимальных идеалов алгебры АР^Шп)" Заметим, что на тригонометрических полиномах второй степени, составленных из всевозможных характеров второй степени на группе а затем по непрерывности и на всевозмож- ных функциях из алгебры АР2(й) мы можем очевидным образом задать оператор усреднения Р :AP2(G) формулой (pg)<xi)в g<*t+ хг} dm *х<0 <хге R"b где интегрирование проводится по нормированной мере Хаара на компактной группе JC. Нетрудно показать, что Р есть оператор проектирования из алгебры на ее замкнутую подалгебру AP2(R% црц-1 и Р удовлетворяет условию Биркгофа: P(gh)* gP<h) для любых функций ЯйАР2(<л) и g€AP2(h). Тогда из общих соображений получаем непрерывное отображение : H(G) - аз пространства максимальных идеалов Н(С) алгебры АР2"3) в пространство максимальных идеалов Н<Яп) алгебры АР2(Яп)% такое, 264 что для каждого вектора осеИп слой ?<S)s )9х +Х- класс смежности в группе С относительно подгруппы К, содержащий вектор х. Следовательно, для каждой точки аге#<ДЛ)слой Е{х> = я гомеоморфен компакту JC, а Н"*) совпадает с тополо- гическим произведением К*Н<ИЛ). В результате доказана следующая теорема. Теорема 30. Пусть локально-компактная коммутативная группа G представима в виде прямой суммы Я(c)1?л (л> 05, где К -некоторая компактная подгруппа группы &. Тогда пространство максимальных идеалов Я"2) алгебрыЛР2(б) всех почти периодических функций Бора - Френеля на группе G совпадает (с точностью до гомеоморфизма) с топологическим произведением К * группы К на пространство максимальных идеалов ЖКЛ) алгебры ЛР2(Яп) всех почти периодических функций Бора - Френеля на евклидовом пространстве К* Теперь перейдем к описанию пространства максимальных идеалов Н(&п) алгебры Л1|Ш*)всех почти периодических функций Бора - Френеля на Rn, Заметим, что построение пространства Я(НЛ) проходит по той же схеме, что и для случая, когда л = " 1. Поэтому в дальнейшем опускаем некоторые детали, аналогичные соответствующему доказательству в одномерном случае. Однако в общем случае возникают некоторые технические усложнения, на которых мы остановимся несколько подробнее. Рассмотрим произвольный характер второй степени J на группе (л>1). Очевидно, что у имеет вид f<x}-elli9<i) + i*iL(S> (хе*п), где e#j х* Xi - квадратичная форма, a Lix)=V <*,*.- tyi " * И 1 линейная t°pwa на Рассмотрим разложение Йл в прямую сумму и предположим, что симметричный гомоморфизм ассоциированный с характером второй степени разлагается в сумму ywf|+f2' Где Я*1-**(r)*"1 й f2: ^ (r) " симметоичм'е гомоморфизмы в Я^1 яЯ соответственно. Тогда характер второй степени J разлагается в произведение л>= €(tm)**1 + г*п*я t 265 где х*<хгх2>...9хл)ш(х'9 Хд) и х'мЯ***, • Qt иХх-квад-ратичная и линейная формы в R7I"?. Раосмотрим совокупность всевозможных тригонометрических полиномов второй степени, составленных из характеров второй степени на Ял, разложимых в указанном смысле. Пусть Aq обозначает равномерное замыкание на Лл этой совокупности тригонометрических полиномов второй те- пени. Очевидно, что является замкнутой подалгеброй банаховой алгебры Л# и существует оператор проектирования Р: : удовлетворяющий условию Биркгофа, с нор- мой, равной единице. Проектор Р можно задать формулой <Pg)<*'> - Uinw jj g<x: xn)dx" (x'eKn\ Если обозначает пространство максимальных идеалов алгебры Aq и : Яд -
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
