|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  тора можно определять мультипликативный функционал Т на множестве тригонометрических полино- 269 мов второй степени рассматриваемого вида, илWHOM ¦ алгебре В. Необходимо доказать, что функционал F допуоММ непрерывное продолжение на всю алгебру В. Как и в одномерном случае из гл.З, § авалем вещественные числа *" ' *2к > х3к' Ум • У2* ' Узк с помои1ЬВ соотношений (кш ",а-"""**"*.* (Л* I,'..., SB). Разумеется, что эти условия определяют числа и уг^ неоднозначно, но нам достаточно взять какое-нибудь одно решение. Далее, пусть (3#*¦"**&/2" 8к = •tkbltft и шкяЪ**гкУ2к- Как и ;з одномерном случае, приходим к системе неравенств: | А^аг - j < 8 (mod 1) (*=1,2.s4), jp*y- < 8 (mod I) <*"1,2,..., sg), ?*гч* ~ТУг - ** <$imodi) (Jc* 1,2,Sj>, <?<modl) (Jc *i,2,...,s3), |b*#y-<o*| <$(mo<il) <**1,2,..,, s2y. Тогда функционал F допускает непрерывное продолжение на всю ' алгебру 3, если эта система неравенств имеет совместное вещественное реьзние при любом сколь угодно малом положи- тельно* $, Наконец, чтобы убедиться в том, что последняя система неравенств разрешима при любом S>0, можно образовать функцию *1 *2 Ф<*,у>= i' + y?j*>i<*k*2l2-i)') + 2"ыа**У-и*> + *•! Ы 2" О **1 **1 *"1 Я вычислить А'л МЛ.г1*(*-у,|г''Л'^- Здесь вычисление проводятся по той же схеме, что и в одномерном случае, поэтому опускаем это вычисление и заключительную часть доказательства теоремы. Отметим только, что из доказанных выше асимптотических оценок для кратных тригонометрических интегралов следует, что рассматриваемые здесь характеры второй степени ортогональны между собой относительно скалярного произведения Следующие рассуждения необходимо провести снова по той же схеме, что и в одномерном случае. Так, от частот "(*} <***• 1\ Ъ\ ; как в теореме 31, мы должны перейти к их аликвотным частям и образовать проективные системы, составленные из соответствующих многомерных торов. В резуль*ате получим описание пространства максимальных идеалов замкнутой подалгебры, порожденной всевозможными характерами второй степени, для которых коэффициенты квадратичной я линейной форм удовлетворяют условиям akk€Qa\k) + + • •• + . xi t г 8jtil' by e Q Ъ<*> + Qb<*> + ... + Q Ъ<*>. Наконец, заключительная часть конструкции пространства максимальных идеалов Н(РЯ) алгебры ЛРг(Ря) всех почти периодических функций Бора - Френеля на евклидовом пространстве состоит в том, что мы образуем л+л(я- 1)/2 + л экземпляров базисов Хамеля для R над полем рациональных чисел Q (по одному для каждого из коэффициентов и Ьд. квадратичной и линейной форм в Рл), для всевозможных конечных наборов вещественных чисел из этих базисов рассматриваем замкнутые- под- 271 алгебры, как в теореме 31 и далее, а затем переходим к проективному пределу по той же схеме, что и в одномерном случае. Следующая теорема, аналогичная теореме 10 для одномерного случая из гл.З, § 3, дает одно из возможных опиоаний класса всех почти периодических функций Бора - Френеля на Нл в терминах боровских почти периодических функций в евклидовом пространстве большей ргзмерности. Теорема 32, Непрерывная функция /9 заданная на является почти периодической функцией Бора - Френеля тогда и только тогда, когда для некоторой боровской почти периодической функции <0 от п<п*3)/2 переменных справедливо равенство для любых Х*{Xt> 00п ) € Кроме того, приведем также следующее необходимое и достаточное условие для почти периодичности Бора - Френеля в многомерном случае, аналогичное теореме 20 из гл.3, § 3, Теорема 33, Непрерывная функция j в Я71 является почти периодической функцией Бора - Френеля тогда и только тогда, когда для любого положительного е существуют положительное число 8 и конечные наборы каждый из которых состоит из рационально независимых вещественных чисел, таких, что if<x +2) <? для всех решений "•(xi,x3,,..,xn),l*(ii,l2,...!fJI) системы нера- венств J Xih < 6 (mod 1) (i"lf2f..M*w; 1ШКи). Возвращаясь к вопросу о структуре пространства максимальных идеалов HiG) алгебры всех почти периодических функций Бора - Френеля на локально- компактных коммутативных группах С, можно сказать, что теперь мы имеем полное описание пространства HiG) для групп вида с компактной подгруппой X. Пусть € - произвольная локально-компактная коммутативная группа и, как в основной структурной теореме, Gi - открытая подгруппа в G вида C^XeR* (л>0), где X - компактная груп па. Рассмотрим вопрос о том, как устроено пространство максимальных идеалов HiG) алгебры АР2(G) из пространств максимальных идеалов Н<й) и HiG/Gj) алгебр AP2(G^) и AP^GjG^ соответственно. Ясно, что мы получим ответ на этот вопрос, если предъявим оператор проектирования Р: АР2"") (G/G^)9 удовлет- воряющий условию Биркгофа. Пусть xeG и класс смежности в группе G относи- тельно подгруппы ?j, содержащий элемент ас. Условимся элементы группы й1"ХфЯя обозначать через где 1йК и z2t...tzn ) € Яя. Тогда оператор проектирования Р можно определить формулой
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
