|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  (PgHx) - lim Urn 5 ... j (jЛ' а в качестве <p: HiG)^HiGjGx) взять отображение, сопоставляющее каждому максимальному идеалу алгебры AP2(G) его пересечение с замкнутой подалгеброй, состоящей из всех почти периодических функций Бора - Френеля на G, которые постоянны на каждом классе смежности группы G относительно подгруппы Gj. Теперь с помощью стандартных рассуждений получаем, что пространство максимальных идеалов HiG) алгебры AP2iG) представляется в виде объединения замкнутых дизъюнктных слоев Е(х)ш^х) <ягс1Г<"/6|9, каждый из которых гомеоморфен пространству максимальных идеалов алгебры AP2(G{), Полезно отметить, что в общем случае расслоение <?:#"")-* ->iftC/Cf) не обязано быть представлением Н(С) в виде тополо- 273 гического произведения пространств максимальных идоллов и HiG/Gj). Действительно, в структурной тоорома мы не можзм, вообще говоря, выбрать открытую подгруппу б^Я# Я* так, чтобы б представлялась в виде прямой суммы подгруппы <Jf и некоторой дискретной группы, как показывает следующий придер, принадлежащий Капланскому. Пусть б есть множество всех последовательностей ос = (хп) {л* ), таких, что агле{0,!,2,3] для любого п * 1, 2,... и хп=1 или 3 только для конечного числа номеров л. Групповую операцию в б определим как покомпонентное сложение по модулю 4, Пусть Кя{ х~(хп)€в : 2х (r) 0 }, т.е. К состоит из всех таких последовательностей х*(хп), что д*л-0 или 2 для всех г *1,2,... Ясно, что К является полней прямой суммой счетной совокупности групп {0,2}, поэтому по теореме Тихонова К является компактной коммутативной группой в стандартной топологии прямого произведения топологических пространств. Далее, на G рассмотрим топологию, в которой подгруппа К является открытым множеством. Точнее, определяем топологию не б так, чтобы базис открытых окрестностей нейтрального элемента о в б состоял из всех открытых подмножеств rpynnr X, содержащих о. Тогда в этой топологии G - Еподне несвязная локально- компактная коммутативная группа, в которой К является открытой подгруппой. Согласно структурной теореме в б существует открытая подгруппа Я, топологически изоморфная CeJ?n, где л>0 и С -компактная группа. Предположим, что б разлагается в прямую сум-,.,у 6*H"D, где D - дискретная подгруппа в б. Очевидно, что л*0, так как б * вполне несвязная. Следовательно, И - компактная группа. В то же время б некомпактна, поэтому подгруппа В должна быть бесконечной. Последнее приводит к противоречию, ибо каждая бесконечная подгруппа в б имеет бесконечно много элементов в X, а любая дискретная подгруппа компактной группы К должна быть конечной. Теперь перейдем к изучению пространства максимальных идеалов #<б) для алгебры почти периодических функций Бора - Френеля на дискретных группах б. Прежде всего остановимся болез подробно на случае, когда С * Z - аддитивная группа целых рациональных чисел. Как уже от- 274 мечалось в гл.2, § 1, произвольный характер второй степени на Z имеет вид мя характером второй степени j числа zt и задаются неоднозначно: Рассмотрим сначала банахову алгебру APiZ), состоящую из ноех боровских почти периодических функций на Z. Ее пространство максимальных идеалов есть компактная группа Zj - боров-ская компактификация дискретной группы Z. Согласно общей теории комплекснозначная функция g на Z является боровской почти периодической функцией на Z тогда и только тогда, когда она допускает непрерывное продолжение на Zj. Точнее, если : Z -¦ Zj есть каноническое вложение Z в боровскую компакти-фикацию, то существует непрерывная функция на Z&, такая, что для всех Теперь пусть Я - произвольная компактификация а * ъмЖ х'руппы Z, т.е. Я - компактная коммутативная группа и существует вложение ^р: %-"Н, такое, что <p(Z) плотно в Я. Но тогда изоморфизм ^ можно пропустить через боровскую компактифика-цию Другими словами, существует непрерывный гомоморфизм : Z^-^Я, такой, что <р(л>* дяя любого 3t€Zy т.е. коммутативна следующая диаграмма: /<п) - zfz * * (- z, )лV ъг)" (пеЪ) что приводит к факторизации двумерного тора Z f н . 27? Так как f-.Z-H инъективно к имчят плотный образ в Я, сопряженный гомоморфизм "р*:#д-*Т таккп ииъяитиипн и имеет плотный образ в Т. Из соотношения следует, что <р* = = <р* ,(?ъ' Но тогда так кик -"Т еоть тож- дественное отображение. В результате получаем, что <р* : Нл~* -*Т^ - изоморфизм дискретной группы НА в T^.lt результате можно считать, что дискретная группа Л *ЯЛ еоть подгруппа в Т^. Очевидно, что Л - подгруппа, плотная в Т. Наконец, ан-нулятор Al*[xeZb:<x,1>-i для всех j €Л | есть замкнутая подгруппа в Z^ Но тогда Н*Аа*Ъь1л\ поэтому для каждого хеЪ^ получаем, что y^ix)* x+AL - класс смежности относительно подгруппы Лсодержащий элемент X, Теперь рассмотрим комплекснозначную функцию f на Z и предположим, что f допускает непрерывное продолжение на Я, т.е, существует ^еС(Я), такая, чт^ /Ор(л""/{л) для любого я€%. Рассмотрим функцию g на ЗБ&, заданную формулойg<x) *
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
