|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  <"***>" 1. Тогда для коэффициентов Бора - Фурье функции ^ получаем, ч^о Сд "с^ сЯг • Следовательно, функция * fl ** является мультипликативной функцией натурального аргумента, т.е. как только И - взаимно простые числа. 283 Ряд Бора - Фурье функции j можно оаписагь в виде /О") " 1 ¦+• 2 Ф<",)" П<И"Ф</>) + Ф</>г)+...), *"2 <?> при этом для каждого простого числа р ^-компонента Jp функции j разлагается в абсолютно сходящийся ряд Бора - Фурье вида Sp{n) -1 + Ф(р> + Ф<рг)*к..- 1 + § J сЛ/р> e2*ina/Pk. ы <A,p>.t Теорема 36. Пусть Л - плотная подгруппа окружности Т, состоящая из всех элементов конечного порядка. Тогда для замкнутой подалгебры A^cAP(Z) всех почти периодических функций на Z, спектр которых содержится в подгруппе Л, пространство максимальных идеалов есть вполне несвязная компактная группа Н - - Zj/Л1, алгебраически и топологически изоморфная полной прямой cyrjie компактных груш Ър. Рассмотрим другие примеры подгрупп, плотных в Т. Пусть f - произвольный характер бесконечного порядка. Последнее означает, что " е 2*in" {л ? Z), где " - иррациональ- ное число. Однако для иррационального "в последовательность дробных частей Хн ** |я"| (п• 1,2,~.) равномерно распределена на промежутке [0,13, поэтому данная последовательность плотна в [0,1] (очевидно, что плотность этой последовательности в [О, Ц] легко получать прямым путем). Следовательно, Лв"[е2* т* : : ж с 35 J- плотная подгруппа в Т, изоморфная Z. Таким образом, после отождествления Лл* Z получаем, что для компактной группы характеров s т, при этом из плотности Л* в Т вытекает, что Т является номпактяфикацией для исходной группы Z. Заметим, что вложение <рл : Ъ -*НЛ* Т является суперпозицией вложения : Z -*• Z$ с каноническим отображением Z$ -*• Zj/Л^, т.е. <р"('л)*"<^{и)+ + Л-Jj (neZ), я образ ^CZ) плотен в #Л"Т. В результате получаем, что для замкнутой подалгебры A# cAP(Z), состоящей из всех почти периодических функций на Z, спектр которых содержится в подгруппе Лл С Т, пространство максимальных 284 идеалов совпадает (о тотаоотью до гомеоморфизма) с о1фужноотьк> Т^Т. Вместе с иррациональным числом ог рассмотрим его Аликвотную часть "д • "/л. Тогда группа частот Л* является подгруппой для Л "бл, а алгебра есть замкнутая подалгебре" банаховой алгебра А #я, состоящей из всех- почти периодических функций на Z, спектр которых содержится в группе частот Л Ujt. Пространство максимальных идеалов алгебры Лл" есть окружность Т*Л-Т, а включение А#с А#я индуцирует непрерывное# отображение пространства максимальных идеалов алгебры Л"я в пространство максимальных идеалов подалгебры Аа. Очевидно* что после необходимых отождествлений, отображение : НЛп ¦_*. есть отображение <рл• Т^л -* Тл, заданное формулой уп( z) - г" (zcT). На этом пути возникает проективная оистема окружностей, и мы получаем следующую теорему. Теорема 37. Пусть " - иррациональное число и Вы, - алгебра всех почти периодических функций на Z, спектр которца содержится в группе частот { в гг с Q }. Тогда прост- ранство максимальных идеалов алгебры Вы совпадает (с точностью до гомеоморфизма) с проективным пределом окружноофей Т. Далее поступаем таким же образом, что и в случае, когда б Рассмотрим произвольный базис Хамеля на прямой R, как на бесконечномерном линейном пространстве над полем рациональных чисел Q. Дополнительно предполагаем, что *-1 принадлежи? базису Хамеля. Элементу 1 из базиса Хамеля соответствует тривиальный характер на Z :<л,^> * ег**л'* * I (neZ). Очевидно, что при ""I алгебра ЛЛ**Л| состоит только из функций, постоянных на Z. Переходя к аликвотной части <итж^ • щ, Получаем группу частот Л|ул, которую можно рассматривать как мультипликативную подгруппу окружнооти Т, состоящую as все? корней степени т из единицы. Тогда соответствующая ал*ебра А\ ТШ . #> состоит из всех тригонометрических полиномов на Ъ виде Я1-1 ?Чя)" j cke2*iknlm <п*Ъ), ir*0 а пространство максимальных идеалов можно очевидным обра- 285 аом отождествить с группой корна! отапаия т на единицы ("дискретная окружность"). Если т\1, то с Ai и с Д ^ 1 при "том последнее включение для алгебр индуцирует гомоморфивм т : И^ который задается формулой <|>1я (z)-r*, где к -2/т. В результате получаем проективную систему "дискретных окружностей" Яд, и можно образовать ев проективный предел Xt" lim Я1 " П UwJfx- - П Z. . *т> т <р> *(" J"* Тогда алгебра 2?j (т.е. в теореме 36) состоят из всех поч- ти периодических функций на Z, спектр которых содержится в группе частот J €Z*ir.i . reQ j . и Л , а ее пространство максимальных идеалов совпадает с Xj. Заметим, чтб канонические отображения Z в каждое не являются инъ- ективными, т.е. происходит склеивание точек. Однако канонические отображения Z в каждое Zjp и в JKj янъектидны и имеют плотный образ, так как подгруппы частот UA х hUAj плот- ян в Т. <к) р <т) т \ Пусть ос - произвольный элемент из базиса Хамеля, отличный от единицы. Тогда & - иррациональное число и группа частот : л € Z } ~
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
