|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  плотная подгруппа в Т. Пространство максимальных идеалов аглебры A# еоть (с точностью до гомеоморфизма) единичная окружность *Т. Переходя к аликвотным частям получаем алгебры А&, для которых ТЛ пространством максим* льных идеалов снова являются ^ окружности HjLmЖТ, В то же время вложение А* с A* (m\ly инлуци- ш m m Т рует непрерывное отображение , такое, что " 2*, где k=lfm. В результате здесь возникает про- ектквнзя система окружностей, поэтому можно рассмотреть их про ектчзчый предел Аналогично теореме 37 пространство максимальных идеалов алгеб-рн ________ в"- U лж <т) ж совпадает (с точностью до гомеоморфизма) с Хи. Очевидно, что каноническое отображение Z в каждое инъектквно и име- ет плотный образ, так как соответствующая группа частот Л& плотна в Т. т Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 38. Пространство максимальных идеалов алгебры , ЛР<2) всех почти периодических функций на Z совпадает (с точностью до гомеоморфизма) с топологическим произведением Ц X . <*) где произведение берется по всем элементам базиса Хамеля, включая Следовательно, топологически различие между пространствами максимальных идеалов алгебр Л?(Ж) и АР(Ъ) почти периодических функций на R и на Z соответственно состоит в том, что в случае аддитивной группы целых рациональных чисел Z появляется неархимедов множитель Ц Z*. О" Теперь переходим к вопросу о структуре пространства максимальных идеалов алгебры ЛР2(Ъ) воех почти периодических функций Бора - Френеля на группе Z. Прежде всего фиксируем произвольным образом два иррациональных числа в и а. Пусть В<в,<и) обозначает замкнутую пол -алгебру для ЛР2(Х), состоящую из таких почти периодических функций Бора - Френеля, которые можно с любой точностью равномерно на Z аппроксимировать тригонометрическими полиномамл второй степени вида Т<л) * ? стч1се т.е. замкнутая подалгебра, порожденная алгеброй А<* и характерами второй степени Если Т - нормированный мультипликативный функционал на алгебре 5<в,&) и ?8У W-<7,/e>- <Г,"**Я*в>, Шт(Г, *Шпт>, то (щ 2) ? Т*. Обратно, раосмотрмм проиапольную точку (иг, z) двумерного тора Т2 и определим мультипликативный функционал Т формулой <Т, Т> а* <л>) на множестве всех тригонометрических полиномов второй степени Т указанного вида, плотном в алгебре Б(в,оО" Докажем, что функционал Т допускает непрерывное продолжение на всю алгебру Действительно, так как & - иррациональное число, пространство максимальных идеалов Нл алгебры A# есть единичная окружность Т, поэтому алгебра Atf изометрически *-изоморфна алгебре С(Т) всех комплексноэначных непрерывных функций на окружности Т. Следовательно, достаточно показать, что для любого конечного набора функций gv g , g^eCiT) справедливо неравенство If "-*.">1 " .up If . I"м * яш% I 1 Но для этого достаточно показать, что образ Z при отображении / 2я*л* \ {в , € 1 расположен как угодно близко к точке /иг, z), т.е. для любых <p,<pe[0,f) система неравенств - fj < ?<mo<il)# J осп - <|> | < $ (mod i ) имеет хотя сы одно целочисленное решение при любом положительном Наконец, разрешимость системы неравенств вытекает из равномерного распределения по модулю единица в последовательности векторов #л) •.")• Отметим, что здесь и далее, в аналогичной многомерной ситуации, равномерная распределенность по модулю единица последовательности векторов (хп) устанавливается, например, с по- мощью теорем из теории равномерного распредаяения последовательностей: 1) для любого многочлена Р<я)х* + ' у которого хотя бы один из коэффициентов ирра- ционален, последовательность, дробных частей ({/Чл)|) (л"1,2,.") равномерно распределена на промежутке [0, f]; 2) последовательность векторов (?п) <n-f,2,...) равномерно распределена по модулю единица в евклидовом пространстве Я3 тогда и только тогда, когда для любой целочисленной точки "с е Zs, афЪ> числовая последовательность скалярных произведений <<5Л,5>) равномерно распределена по модулю единица. Таким образом, доказано, что каждая точка <ttffz)eT2 порождает указанным способом нормированный мультипликативный функционал на алгебре В(в9ей), если в и л - иррациональные числа, поэтому пространство максимальных идеалов Ж в,at) алгебры В(0,аО совпадает (с точностью до гомеоморфизма) с двумерным тором Т*. Далее мы рассматриваем аликвотные части "л*<и/л и вл = = 0/л (л" 1,2,...) и всевозможные замкнутые подалгебры Bi9m, &i) (m,l * 1,2,.), для которых пространство максимальных идеалов совпадает с трром ТД2 "Т2. Если т\тj и I|lj, то имеем вложение B(Qm* "г) с ), индуци- рующее непрерывное отображение такое, что <*,i, <4 *> - <а>*. zr), где г- j* . В результате возникает проективная система двумерных торов поэтому нужно образовать проективный предел Ха * lim Т* " ХА * Хм , ** (т91) Тогда пространство максимальных идеалов алге' | Ив, л) - U в(&- ,f) 'Я* *• ' <".1) совпадает с этим проективным пределом v 289 Следующий шаг состоит в том, что мы рмюммтрияаем два произвольных набора
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
