|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  2W Наконец, отметим, что в рассмотренной выше интерпретации для произвольной функции g€C<i,l) соответствующий степенной ряд функции ?сС<Н) возникает в пределе из согласованной системы алгебраических многочленов \Рт<хт)\, которые рассматривали на проективной системе "дискретных окружностей" . Одновременно мы рассматривали систему отображений co^Z-" Z/wZ"Tw, из которых строится вложение <р; Z -*# жШп ТЛ. Если же из g и из тригонометрических полиномов, аппроксимирующих функцию g, выделить в качестве общего множителя некоторый характер второй степени то удобнее вместо проективной системы "ди- скретных окружностей" рассматривать согласованные между собе* "дискретные обмотки тора". На деталях не останавливаемся. Заметим только, что если (j>: Z - дискретная обмотка тора, заданная формулой <|^Л> - (fk(n), <л,}>) - j (neZ), то не является, вообще говоря, гомоморфизмом из Z в мультипликативную группу ТД с покоординатным умножением. Однако <|> становится гомоморфизмом, если умножение первых координат проводить одновременно с "подкручиванием" на множитель < Я|, ул2 > " " ( как в основной формуле для характера второй степени {Ярtig еЪ). Таким образом, в теории почти периодических функций Бора -Френеля снова появляется группа Гейзенберга - Вейля. ПРИЛОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРЫ УСРЕДНЕНИЯ В КОММУТАТИВНЫХ БАНАХОВЫХ АГЛЕБРАХ Пусть Л, В - коммутативные банаховы алгебры о единицей, ел я "л-единичные элементы в А и В соответственно. Рассмотрим отображения где предполагается, что: 1) <р°: В ~*А есть непрерывный гомоморфизм, f 0(вц) * €л • 2) и: А -В есть линейный непрерывный оператор; 3) - тождественное лреобразование на В, Заметим, что т.е. и<ед) = ед. . Из предположения 3 следует, что "рО есть изоморфизм (инъективный гомоморфизм), а ц является отображением на В. Рассмотрим оператор Р"^ц:Д^А. Очевидно, что P2 = (<p°u){<p*u)* <р°(и<рв)и" <p°i<ijjU * <p°u *Р, поэтому Р2"Р, т.е. Р является непрерывным оператором проектирования. Его образ Л0"Р(А)"^(иЛ)"ср°(В), так как и есяь отображение на 5. Кроме того, Ац = <у${В) есть подалгебра алгебры А, содержащая единичный элемент е^ Докажем, что <р$(В)-замкдутая подалгебра. Действительно, если апе^(В) (п=1, 2, а сА и |'ал-а|-"0, то из соотношения алполучаем, что ""Ра, откуда а=Ра = Таким образом, А^вР<гА)"<р(r)('В) есть замкнутая подалгебра алгебры А, содержащая единичный элемент Отображение <р° есть топологический изоморфизм 3 на Далее предполагаем, что оператор и \А-+В удовлетворяет условию Биркгофа: 298 и(ауЬ(Ъ" * и{л)Ъ <&еА,ЪеВ). Рассмотрим произвольные элементы at А и авеЛ0. Тогда оу-.ествует Ь^еВ, такое, что в силу условия Биркгофа "<*,)*<p°u(afЬ0)>- у*<и<а)Ъ0)* <рв<Жа))(рО(*0)"(.Ра)вв, "е. Р(лл0)"<Ра>а0 ("?Д, Обратно, если последнее соотношение выполняется дль всех teA и а0еД0,то для л* А и имеем Р<ау*(Ъ%= ¦ Р(а)<р°{Ь), поэтому <f0[u{a<pO(b"] * ij|fl(u(a""р#(Ь)" <р°(ц(а>Н I в силу инъективности из последнего соотношения следует, ITO и<тр°(Ь)) * u(a)b (ас-А, ЬсВ). В результате доказано, что условие Р<ла0)~<Р*)а§ <<t€ Aq) эквивалентно условию Биркгофа. Теперь рассмотрим идеал 1 алгебры В. Пусть J# обозначает идеал алгебры А9 порожденный множеством Тогда и{/#)" = J. Действительно, если се/* то с -XL**?ч>*где v еА,Ь-€1 <**1,2,...,"). Пользуясь условием Биркгофа, получаем, что т.е. и(1*)с!. Обратно, если Ьс1, то Ь-u(<p*fb)) е u< I*), поэтому J с u < I*). Таким образом, доказано, что 12(1*)*/. Кроме того. - I - U (J*), где черта обозначает замыкание по _норме в соответствующей алгебре. В самом деле, включение и<7#)с/ вытекает из соотношения и непрерывности оператора и. Обратно, если Ье/, то существует последовательность clt такая, что Ъп- 299 •*Ь по норме в В. Из непрерывноет> <р* тогда имеем <р°<Ь), поэтому и тем самым Ья uy*(b)eu (I*). Следовательно, доказано, что справедливо обратное включение 7си(Р), поэтому J-U<P>. Тогда, если Ij, 7^ - замкнутые идеалы алгебра В и Jj ф то 1* * 1*. Другими словами, воли Jt ш 12 - различные замкнутые идеалы алгебры В, то при топологическом изоморфизме получаем различные замкнутые идеалы <р•</,) и подал- гебры Ад, которые "поднимаются" до различных замкнутых идеалов Jj* и алгебры Л. Пусть снова I - замкнутый идеал алгебры Д и J=T*-замкнутый идеал алгебры А, порожденный множеством <р0<7). Уже доказано, что u(J)m I, поэтому замкнутый идеал подалгебры А$ Но по построению идеала Jml* имеем включение JgCJ, откуда P(J)C J и тем самым PiJicJHAy. Если ае1ПА0, то а " = P(4t)eP(J) и справедливо обратное включение. В результате Ajj. Наконец, полагая А^ХегР* (1-Р)А и отмечая, что из условия Биркгофа следует соотношение A qA^Aj, поэтому Aj является банаховым А^-мсдулем, получаем, что J* JqA * JjfAg + Aj) * JjjАр + *^e^i * J* + + Таким образом, если I - замкнутый идеал алгебры В, то замкнутый идеал JmI* алгебры А, порожденный замкнутым идеалом подалгебры Ад, имеет вид *г " * Jo •*!" при этом J0-PJ * J П Afl. -Далее, пусть ХшМ<А) и У*Л!(Б)-пространства максимальных идеалов алгебр А
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
