|
Почти периодические функции Бора-Френеля - Осипов В.Ф.ISBN 5-288-00758-6 Скачать (прямая ссылка):  любое из следующих эквивалентных условий можно использовать в качестве определения почти перио-. дичности. Теорема 2. Пусть / - непрерывная функция на прямой. Тогда следующие условия на функцию f равносильны: 1) для любого ?>0 существует относительно плотное множество s-почти- периодов функции f, т.е. для любого е > О существует такое положительное Т, что в каждом промежутке длиной Г найдется хотя би одно число %, такое, что \ f<x + x) - е для всех х е F; 2) множество всевозможных сдвигов функции / имеет компактное замыкание в топологии равномерной сходимости на пространстве непрерывных и ограниченных функций на прямой; 3) функция / может быть равномерно аппроксимирована на R тригонометрическими полиномами, т.е. для любого е>0 существует тригонометрический полином 23 такой, что 8 /'т\сож \f(x) ~ Т<х) I < 6 >' 4) функция f допускает непрерывное продолжение на воровскую компактификацию Я прямой R, т.е. существует ^? С(Н), ' такая, что f^((f<x))atf(x) для любого жеК, где есть естественное вложение F в Я. § 2. Пространство максимальных идеалов алгебры почти периодических функций на прямой Приняв точку зрения теории банаховых алгебр, в этом параграфе мн даем описание боровской компактификации Н = )л, как пространства максимальных идеалов алгебры АР=АР(Б) эсех почти периодических функций на прямой. Пусть f - почти периодическая функция на прямой, отличная от постоянной. Из результатов § 2 получаем, что f является периодической функцией тогда и только тогда, когда ее группа частот AmA<f) есть нетривиальная дискретная подгруппа, порожденная одним элементом, т.е. A<f)=Za для некоторого а> 0, при этом наименьший положительный период функции f равен I = 1/а. Очевидно, что если g - произвольная непрерывная функция на JR с периодом I, то ее группа частот Aig)=%<x,i для некоторого неотрицательного и Zctjc Zct. Однако из последнего включения-вытекает, что а^тл для некоторого те h. Ясно, что при т.*О имеем ч"ь поэтому g - постоянная функция. Если же т Ф 0, то > 0 я g - периодическая функция с периодом L*~=-i- "J-Z. Следователько, I •ml,, где 1, -1 та ш l l наименьший положительный период функции g. Пусть AP(oj)= Cjr(R), где обозначает банахову алгебру всех комшгекснозяачных непрерывных функций на К с периодом Z >0. Тогда для любой функции geAP(u>) ее группа частот A(g)C%U3 и U A<g)-Zo>- группа частот алгебры ЛР(ш)0 geAP<w) 14 Пространство максимальных идеалов Л(<(0) алгебры AP<a>) теперь получается в результате "склеивания" тех точек прямой R, которые не разделяются функциями из алгебры АР(ш). Оно то:,юс-морфно аддитивной группе вещественных чисел по модулю I. Определим .гомоморфизм cl : J?{modi)-* Т формулой oi<xmoc?Z) = _ € гтшх^ где a)_iyjr Очевидно, что oi есть изоморфизм к гомеоморфизм R<modZ) на Т. Далее отождествляем пространство максимальных идеалов М (ш) алгебра АР<со) с единичной окружностью Т. В результате такого отождествления любой функции feAP"u) и для каждого xeR имеем f(x) яУУе ), где f - преобразование Гельфанда функции f, а точка единичной окружности ei& * a<xmod>l). Если Cjj(R) с Cj<R), то для некоторого положительного целого числа J" получаем, что 1"т1^г т.е. = 1/Zj "* иш, поэтому Z tOj - m Z ш С Z со. Рассмотрим линейный оператор Р: АР(<х))-~АР< a)j), заданный формулой <?/><*>-?1 Л* + |г>- Очевидно, что Р/<=/ для любой функции /eAPCuij) и Р2 = = Р, т.е. оператор усреднения Р есть оператор проектирования алгебра АР(ь>> на подалгебру АР(ш^. Креме foroj вложение АР(<аj) С- АР<а>) индуцирует непрерывное' ~ отображение <g: М<ш) -JW(ajj), такое, что <p{z7= zw для любого zeT = = Таким образом, для любой функций"/е.АР<а)) и для каждого zeT получаем < Р/ >A"j><z" - ± j / <z" 2я**/п1), т.з. (PfyUZ> = ^ ? /(g) (Zfl) . ?;S* = Z Теперь рассмотрим положительную частоту ш и ее аликвотные части cDj= ^оа и и>2= jjw, где т,п ~- положительные целые числа. Тогда АР<аз) является подалгеброй как для алгебры АР(ш1), так и для алгебры АР<0)2). Пусть АР^) ~AP<a>) 25 я Р2: APt'to2)->АР (со) - операторы проектирования на подалгебру АР(ш), M(a)j)-ЛКш) и <р,: Л1(а>2) -"¦ At(<o) -не- прерывные отображения пространств максимальных идеалов, индуцированные вложениями АР(со) cj AP(cOj) и АР{со) <5- АР(о>2) соответственно. Предположим дополнительно, что ш\п (л делится на т). Тогда п^кт, где к - целое число, и a)j = Jca)2. 1о-этому AP(cOj> С АР(со2) и можно рассмотреть оператор проектирования Р : АР<шг) -*• AP<a)j) и отображение ср: Л1 <со2> -*¦ ^ Легко видеть, что выполняются следующие условия согласования: Pjj-Pjop, Рассмотрим совокупность алгебр ЛР(^со) (л =1,2, ... ), соответствующих всевозможным аликвотным частям с фиксированной частотой <о. Эта совокупность алгебр частично упорядочена по включению и направлена вверх в том смысле, что для любых натуральных пх и п2 существует натуральное п, такое, что АР{^ш)с АР{± ш) и AP(X<o)cAP(J<o) , например, в качестве л можно взять наименьшее общее кратное чисел п1 и В случае, когда т\п, введем
Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
