Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Органическая химия -> Гросберг А.Ю. -> "Статистическая физика макромолекул" -> 35

Статистическая физика макромолекул - Гросберг А.Ю.

Гросберг А.Ю., Хохлов А.Р. Статистическая физика макромолекул — М.: Наука, 1989. — 344 c.
ISBN 5-02-014055-4
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayafizikamakromolekul1989.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 157 >> Следующая


Одна кольцевая макромолекула представляет собой с точки зрения топологии узел (рис. 1.17); незаузленное кольцо называется при этом тривиальным узлом.

Аналогично два или большее число колец образуют зацепление (рис. 1.18), и о независимых кольцах говорят как о тривиальном зацеплении. Мы не останавливаемся здесь на математических вопросах классификации узлов и зацеплений; интересующемуся читателю рекомендуем книги [21, 22] и обзор [23].

11.2. Простейшая полимерная система с нетривиальной топологией— идеальная цепь с зафиксированными концами на плоскости, пронизанная поперечной непроницаемой для цепи прямой.

Эта система изображена схематически на рис. 1.19. Через точку О проходит перпендикулярная плоскости чертежа прямая линия; цепочка не может пересекать ее, и это обстоятельство создает топологическое ограничение. Именно: число оборотов л

Рис. 1.17. Простейший нетривиальный узел — трилистник

Рис. 1.18. Простейшее топологическое зацепление двух кольцевых полимерных цепей

78 цепочки вокруг точки О (на рис. 1.19 п= 1) является топологическим инвариантом—после приготовления системы, т. е. закрепления концов цепи, оно меняться не может. Анализ этой схематической модели хорошо проясняет суть топологических проблем в физике полимеров (С. Ф. Эдварде, 1968).

Геометрия системы ясна из рис. 1.19: R1 и R2 суть радиусы-векторы концов цени, они проведены из точки О, угол между ними есть 0. Заранее ясно, что топологическое ограничение, обедняя набор допустимых конформаций, уменьшает энтропию.

Для величины WniR1, Ri, 0, N)— вероятности того, что VV-звенная цепь пройдет из R1 в Ri, совершив по дороге п оборотов вокруг препятствия, вычисление (см. ниже) показывает, что

W»(Ru ЛО = /?2)ф„(в. г), (11.1)

где z = 2R1Rj(Na*), Pn [R1—RJ — гауссово распределение (4.1) для цепи без всяких ограничений и

+ оо

q>„ (0, z) = ехр (— z cos 0) 5 VI ехр [? (2лл —0) v] dv; (11.2)

— 00

J—модифицированная функция Бесселя. Поясним вывод соотношений (11.1), (11-2), а затем проанализируем их.

Для простоты будем рассматривать континуальную стандартную гауссову модель макромолекулы (см. п. 6.3 и 6.4) и будем задавать ее конформацию векторной функцией г (s) = {x(s), y(s)}, где s—длина вдоль цепи Ir(O) = R1 и r(s) = RN). Прежде всего встает чисто геометрический вопрос о способе определения числа оборотов п для заданной конформации. Обозначим через 0(s) = = arctg [j/(s)/x(s)] угол между текущим радиусом-вектором г (s) и фиксированной осью х. Тогда 6 (s)= dQ (s)/ds есть элементарный поворот бесконечно малого участка ds вокруг препятствия, поэтому

je(s)ds = j-^^ds = 2«n + e, (11.3)

где точкой над буквой мы обозначаем дифференцирование по s. Это выражение полезно переписать в виде

$ А (г) dr = 2пп + 6,

г (s)

где интеграл берется вдоль контура цепи в заданной конформации г (s), а векторное поле А (г) определено своими компонен-

79

Рис. 1.19. Зацепление полимерной цепи с закрепленными концами за препятствие (точка О) тами:

Ax = — yf(x* + y*), Ау^хІ(х* +у*).

Теперь мы можем легко выписать исходное выражение для вероятности Wn: для этого достаточно в обычном выражении для функции Грина (6.4) ограничить интегрирование только траекториями с заданным числом оборотов п, т. е. ввести в подынтегральное выражение в (6.4) надлежащую б-функцию:

Wu= J 6 Adr-Є— 2ял)ехр [— J г*(s) ds]Z)r (s).

Используем для 6-функщш интегральное представление

6(1) = (2л)"1 J ехр (fvi)dv;

тогда

Wn = (2я)-і J Wv ехр [IV (2ял + 0)] dv„ ^

Wv = J ехр {— J [г2(s) + tv А (г (S)) г (s)]ds) Dr (s).

Напомним о неоднократно обсуждавшейся выше аналогии функций Грина полимерной цепи и квантовой частицы. В рамках этой аналогии выражение (11.4) имеет совершенно ясный смысл — это есть функция Грина заряженной частицы, движущейся в магнитном поле с векторным потенциалом А(г). Как функция координат концевой точки она удовлетворяет уравнению Шредингера

dWjdN—(а8/6) (уг — ivA (г))2 Wv = 6 (N) S (г—R1). (11.5)

Конечно, это уравнение легко получить из континуального интеграла (11.4) и без обращения к квантовой аналогии—так, как это было сделано с формулами (6.26) и (6.28). Решение уравнения (11.5) имеет вид (11.1), (11.2)—в этом можно убедиться просто подстановкой. Обсудим теперь само решение.

Используя различные свойства бесселевых функций, легко установить следующее:

+ со

а) 2 Фп (®» z) = 1; если число обходов *) препятствия произ-

/I=-OO

вольно, то это эквивалентно отсутствию топологического ограничения;

б) 1 > Ф„ (б, z) > 0; это означает, что Wn < Pn, т. е. введение топологического ограничения уменьшает число допустимых конформации цепи;

в) фп=о(0» г) —»¦ 1 при z$>> 1; это значит, что незацепленная (п = 0) цепочка становится свободной при удалении (z-^oo) от препятствия на расстояние больше гауссова размера;

*) Разные знаки п отвечают обходам в разных направлениях—по ходу и против хода часовой стрелки.

80 г) qwo(0, z)—»0 при z^> 1—зацепление (пФ 0) за удаленное препятствие приводит к сильному уменьшению числа возможных конформаций цепи;
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 157 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама