Главное меню
Главная О сайте Добавить материалы на сайт Поиск по сайту Карта книг Карта сайта
Книги
Аналитическая химия Ароматерапия Биотехнология Биохимия Высокомолекулярная химия Геохимия Гидрохимия Древесина и продукты ее переработки Другое Журналы История химии Каталитическая химия Квантовая химия Лабораторная техника Лекарственные средства Металлургия Молекулярная химия Неорганическая химия Органическая химия Органические синтезы Парфюмерия Пищевые производства Промышленные производства Резиновое и каучуковое производство Синтез органики Справочники Токсикология Фармацевтика Физическая химия Химия материалов Хроматография Экологическая химия Эксперементальная химия Электрохимия Энергетическая химия
Новые книги
Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 2" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 1" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 12" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 11" (Журналы)

Петрянов-соколов И.В. "Научно популярный журнал химия и жизнь выпуск 10" (Журналы)
Книги по химии
booksonchemistry.com -> Добавить материалы на сайт -> Другое -> Баренблатт Г.И. -> "Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа" -> 22

Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа - Баренблатт Г.И.

Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа — М.: Недра, 1972. — 288 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyanestacionarnoyteoriigaza1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 102 >> Следующая

оо со со
j x'Wdx=='It J xh(x,t)dx = a j X dx =
0 0 0
= a{xl&)Z.7 + aIft2(°’ t) — h2(oo, t)].
Очевидно, что dh2/dx стремится к нулю при х —> °о быстрее, чем аГ1, в противном случае h не стремилось бы к нулю при х —> оо. Используя это обстоятельство и условие на бесконечности (IV. 1.3), получаем
ОО
“ J xh(x, t)dx = ah2(0, t).
о
Интегрируя это соотношение в пределах от t = t0 до t и используя граничное условие (IV. 1.1) и представление решения (IV. 1.6), имеем
оо оо
j xh(x, t)dx= °°г +1 | lf(l,%)dl =
о о
t
Г 1.2 /П aa2 (?— *o)2ct+1
#0
(напомним, что считаем а удовлетворяющим неравенству —Vs < <a < сю), откуда получаем искомое условие в форме
ОО
о
В интересующей нас области изменения а и Я правая часть (IV. 1.11) конечна и положительна.
3. Исследование интегральных кривых обыкновенного дифференциального уравнения. Итак, решение рассматриваемой задачи свелось к решению обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (IV.1.7) при условиях (IV.1.8) и (IV.1.11), непрерывного и имеющего непрерывную производную от квадрата. Заметим, что уравнение (IV.1.7) инвариантно относительно группы преобразований
Ф(1,Ц) = Г2/ИД), (IV.1.12)
т. е. если / (|, fi) удовлетворяет уравнению (IV.1.7), то и Ф (?, ц.) удовлетворяет этому уравнению при произвольном положительном (л.
61
Это свойство уравнения дает возможность понизить его порядок. Положим по общему правилу (см., например, [53, стр. 93])
/ (?, Л.) = 6»ф (ч, X), 4 = lng, (IV. 1.13)
тогда уравнение (IV.1.7) сведется к уравнению второго порядка
относительно функции ср (г|), не содержащему независимой переменной rj:
ФФ" -Ь 6ф2 + 7фф'+ф'2 +1.(1 -1) ф +1 ф' = О, (IV. 1.14)
Полагая далее
%=* (IV.J.15)
и принимая ф за независимую переменную, получим для функции ч]з уравнение первого порядка:
W=_^[6^+7^+*24'V^+t’15]- <IV116>
Исследование этого уравнения проводится обычным образом (см., например, книгу В. В. Степанова [111]). Поскольку, очевидно, напор заведомо неотрицателен, функция / и, следовательно, функция ф также неотрицательны, так что интересующая нас область плоскости ф'ф представляет собой правую полуплоскость (см. рис. IV.2).
Вблизи оси -ф (т. е. там. где ф мало и -ф ф) уравненпе (IV.1.16) записывается следующим образом:
<IV-U7>
Стало быть, при малых ф и\|>>—интегральные кривые имеют
большой отрицательный наклон, при я]э <С--1 — большой положи-
тельный наклон. Интегрируя уравнение (IV. 1.17), получим, что вблизи оси т|з интегральные кривые представляются формулой
Ф = |—Х + 0(ф), (IV.1.18)
где С — константа интегрирования, различная для разных интегральных кривых. Для исследования поведения интегральных кривых в окрестности начала координат проведем через начало прямые ф — = пкр и рассмотрим поведение интегральных кривых на этих прямых вблизи начала. Имеем на прямой = тф вблизи начала
----4S» •”*+ 2 cl - i)J - 0 Cl). (IV.).»)
так что при т > т0 = — 2 (1 — Я,) = —2/(1 + а) наклон интегральных кривых велик и отрицателен, при т < т0 — велик и поло-
62
жителен. Как нетрудно видеть, при положительных <ри я);, т. е. в первом квадранте, наклон интегральных кривых отрицателен. Вблизи оси ф, т. е. при малых -ф ф, уравнение (IV.1.16) представляется в виде:
поэтому вблизи этой оси наклон интегральных к ривых меняет знак, обращаясь в бесконечность. Таким образом, интегральные кривые уравнения первого порядка (IV.1.16) имеют вид, изображенный на рис. IV.2 В зависимости от того, положительно С или отрицательно, эти интегральные кривые разбиваются на два класса: I и II. Уравнение (IV. 1.18) показывает, что ни одна из интегральных кривых I класса (С > 0) и ни одна из интегральных кривых II класса (С <0) не пересекает ось я|з в конечной точке. Кривые I класса вблизи начала координат стремятся к совпадению с пря-
„ , 2ф мои линиеи ч|з = т0ф = —Q , ; , так что
вблизи начала координат плоскости ф1|) эти кривые удовлетворяют уравнению
Интегрируя это уравнение, получаем
1п<р== _^тгТ]+1п?'+*--== ~‘ег|г1п^+1п?'+-**’
(IV.1.22)
2
Ф = D\
где D — константа интегрирования, а многоточия означают неучитываемые малые величины.
Из (IV.1.22) видно, что при подходе вдоль рассматриваемой интегральной кривой к началу координат, т. е. при ф -> 0, ? стремится к бесконечности. Возвращаясь к переменным / и получаем, что интегральные кривые уравнения второго порядка (IV.1.7), соответствующие интегральным кривым I класса уравнения первого порядка, при | оо удовлетворяют соотношению
f = + о(Б*«). (IV. 1.23)
Далее, при малых ф для интегральных кривых II класса имеем
<^ = <Pl|- = C + 0(<P) (С<0)' (IV. 1.24)
63
Интегрируя это уравнение, получим соотношение
Ф3 = 2Ст] +?' + 0(ф2),
которое показывает, что г) остается конечным при ф -> 0, т. е. при f 0 для соответствующих интегральных кривых уравнения второго порядка | остается конечным. Имея это в виду и переходя в соотношении (IV.1.24) к переменным /, получаем, что при малых / соответствующие интегральные кривые II класса уравнения второго порядка (IV.1,7) удовлетворяют соотношению
AfL==2Ct* + 0 (/). (IV.1.25)
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 102 >> Следующая

Авторские права © 2011 BooksOnChemistry. Все права защищены.
Реклама